MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashdomi Structured version   Unicode version

Theorem hashdomi 12231
Description: Non-strict order relation of the  # function on the full cardinal poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashdomi  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )

Proof of Theorem hashdomi
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  ~<_  B )
2 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
3 reldom 7402 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
43brrelex2i 4964 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  B  e.  _V )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  B  e.  _V )
6 hashdom 12230 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( # `  A
)  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
72, 5, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( # `  A )  <_  ( # `  B
)  <->  A  ~<_  B )
)
81, 7mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  A  e.  Fin )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )
9 pnfxr 11179 . . . 4  |- +oo  e.  RR*
10 pnfge 11197 . . . 4  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
119, 10mp1i 12 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  -> +oo  <_ +oo )
123brrelexi 4963 . . . 4  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
13 hashinf 12195 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
1412, 13sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  = +oo )
154adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  B  e.  _V )
16 domfi 7621 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  ~<_  B )  ->  A  e.  Fin )
1716expcom 435 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( B  e.  Fin  ->  A  e.  Fin ) )
1817con3dimp 441 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  -.  B  e.  Fin )
19 hashinf 12195 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
2015, 18, 19syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  = +oo )
2111, 14, 203brtr4d 4406 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )
228, 21pm2.61dan 789 1  |-  ( A  ~<_  B  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054   class class class wbr 4376   ` cfv 5502    ~<_ cdom 7394   Fincfn 7396   +oocpnf 9502   RR*cxr 9504    <_ cle 9506   #chash 12190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-oadd 7010  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-card 8196  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-fz 11525  df-hash 12191
This theorem is referenced by:  hashge0  12238  o1fsum  13364  incexc2  13389  dchrisum0re  22864  usgraedgleord  23433  esumcst  26634  idomodle  29685
  Copyright terms: Public domain W3C validator