Theorem cdalepw 8901

Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cdalepw	⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem cdalepw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6556	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 +𝑐 𝐵) = (∅ +𝑐 𝐵))
2	1	breq1d 4593	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3		relen 7846	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6		canth2g 7999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7		sdomdom 7869	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10		cdadom1 8891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵))
11		cdadom2 8892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
12		domtr 7895	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
13	10, 11, 12	syl2an 493	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
14	8, 9, 13	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
15		pwcda1 8899	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
16	5, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
17		domentr 7901	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜)) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
18	14, 16, 17	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜))
20		0sdomg 7974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
21	5, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
22	21	biimpar 501	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
23		0sdom1dom 8043	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜 ≼ 𝐴)
24	22, 23	sylib 207	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1𝑜 ≼ 𝐴)
25		cdadom2 8892	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
27		simpll 786	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴)
28		domentr 7901	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
29	26, 27, 28	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
30		pwdom 7997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴)
32		domtr 7895	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
33	19, 31, 32	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
34		cdacomen 8886	. . 3 ⊢ (∅ +𝑐 𝐵) ≈ (𝐵 +𝑐 ∅)
35		reldom 7847	. . . . . . 7 ⊢ Rel ≼
36	35	brrelexi 5082	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
37	36	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
38		cda0en 8884	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 +𝑐 ∅) ≈ 𝐵)
39		domen1 7987	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 +𝑐 ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
40	37, 38, 39	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
41	9, 40	mpbird 246	. . 3 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
42		endomtr 7900	. . 3 ⊢ (((∅ +𝑐 𝐵) ≈ (𝐵 +𝑐 ∅) ∧ (𝐵 +𝑐 ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
43	34, 41, 42	sylancr 694	. 2 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
44	2, 33, 43	pm2.61ne 2867	1 ⊢ (((𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  1_𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840   +_𝑐 ccda 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-cda 8873

This theorem is referenced by:  gchdomtri  9330