MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdandom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdandom 9368
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdandom (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))

Proof of Theorem pwcdandom
StepHypRef Expression
1 pwxpndom2 9366 . 2 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2 df1o2 7459 . . . . . . 7 1𝑜 = {∅}
32xpeq2i 5060 . . . . . 6 (𝐴 × 1𝑜) = (𝐴 × {∅})
4 reldom 7847 . . . . . . . 8 Rel ≼
54brrelex2i 5083 . . . . . . 7 (ω ≼ 𝐴𝐴 ∈ V)
6 0ex 4718 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
7 xpsneng 7930 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
85, 6, 7sylancl 693 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
93, 8syl5eqbr 4618 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 1𝑜) ≈ 𝐴)
109ensymd 7893 . . . 4 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × 1𝑜))
11 omex 8423 . . . . . . 7 ω ∈ V
12 ordom 6966 . . . . . . . 8 Ord ω
13 1onn 7606 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ ω
14 ordelss 5656 . . . . . . . 8 ((Ord ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → 1𝑜 ⊆ ω)
1512, 13, 14mp2an 704 . . . . . . 7 1𝑜 ⊆ ω
16 ssdomg 7887 . . . . . . 7 (ω ∈ V → (1𝑜 ⊆ ω → 1𝑜 ≼ ω))
1711, 15, 16mp2 9 . . . . . 6 1𝑜 ≼ ω
18 domtr 7895 . . . . . 6 ((1𝑜 ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1𝑜𝐴)
1917, 18mpan 702 . . . . 5 (ω ≼ 𝐴 → 1𝑜𝐴)
20 xpdom2g 7941 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 1𝑜𝐴) → (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
215, 19, 20syl2anc 691 . . . 4 (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22 endomtr 7900 . . . 4 ((𝐴 ≈ (𝐴 × 1𝑜) ∧ (𝐴 × 1𝑜) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
2310, 21, 22syl2anc 691 . . 3 (ω ≼ 𝐴𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24 cdadom2 8892 . . 3 (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
25 domtr 7895 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2625expcom 450 . . 3 ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
2723, 24, 263syl 18 . 2 (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
281, 27mtod 188 1 (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 1977  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  Ord word 5639  (class class class)co 6549  ωcom 6957  1𝑜c1o 7440  cen 7838  cdom 7839   +𝑐 ccda 8872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-oexp 7453  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-oi 8298  df-har 8346  df-cnf 8442  df-card 8648  df-cda 8873
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9369
  Copyright terms: Public domain W3C validator