MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabl 18101
Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpnabl (1𝑜𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem frgpnabl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relsdom 7848 . . . . 5 Rel ≺
21brrelex2i 5083 . . . 4 (1𝑜𝐼𝐼 ∈ V)
3 1sdom 8048 . . . 4 (𝐼 ∈ V → (1𝑜𝐼 ↔ ∃𝑎𝐼𝑏𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
42, 3syl 17 . . 3 (1𝑜𝐼 → (1𝑜𝐼 ↔ ∃𝑎𝐼𝑏𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
54ibi 255 . 2 (1𝑜𝐼 → ∃𝑎𝐼𝑏𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏)
6 frgpnabl.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
7 eqid 2610 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
8 eqid 2610 . . . . . 6 ( ~FG𝐼) = ( ~FG𝐼)
9 eqid 2610 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩) = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
11 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
12 eqid 2610 . . . . . 6 (( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∖ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∖ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
13 eqid 2610 . . . . . 6 (varFGrp𝐼) = (varFGrp𝐼)
142ad2antrr 758 . . . . . 6 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐼 ∈ V)
15 simplrl 796 . . . . . 6 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎𝐼)
16 simplrr 797 . . . . . 6 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑏𝐼)
17 simpr 476 . . . . . . 7 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐺 ∈ Abel)
18 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
198, 13, 6, 18vrgpf 18004 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ V → (varFGrp𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
2014, 19syl 17 . . . . . . . 8 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (varFGrp𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
2120, 15ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺))
2220, 16ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺))
2318, 9ablcom 18033 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((varFGrp𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((varFGrp𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺)) → (((varFGrp𝐼)‘𝑎)(+g𝐺)((varFGrp𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp𝐼)‘𝑏)(+g𝐺)((varFGrp𝐼)‘𝑎)))
2417, 21, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . 6 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (((varFGrp𝐼)‘𝑎)(+g𝐺)((varFGrp𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp𝐼)‘𝑏)(+g𝐺)((varFGrp𝐼)‘𝑎)))
256, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24frgpnabllem2 18100 . . . . 5 (((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 = 𝑏)
2625ex 449 . . . 4 ((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) → (𝐺 ∈ Abel → 𝑎 = 𝑏))
2726con3d 147 . . 3 ((1𝑜𝐼 ∧ (𝑎𝐼𝑏𝐼)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
2827rexlimdvva 3020 . 2 (1𝑜𝐼 → (∃𝑎𝐼𝑏𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
295, 28mpd 15 1 (1𝑜𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  Vcvv 3173  cdif 3537  cop 4131  cotp 4133   ciun 4455   class class class wbr 4583  cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  ran crn 5039  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  csdm 7840  0cc0 9815  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437  Basecbs 15695  +gcplusg 15768   ~FG cefg 17942  freeGrpcfrgp 17943  varFGrpcvrgp 17944  Abelcabl 18017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-reverse 13160  df-s2 13444  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-frmd 17209  df-grp 17248  df-efg 17945  df-frgp 17946  df-vrgp 17947  df-cmn 18018  df-abl 18019
This theorem is referenced by:  frgpcyg  19741
  Copyright terms: Public domain W3C validator