Theorem gtneii 10028

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
gtneii	⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Proof of Theorem gtneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3		ltne 10013	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	mp2an 704	1 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958

This theorem is referenced by:  ltneii  10029  fztpval  12272  geo2sum  14443  bpoly4  14629  ene1  14777  3dvds  14890  3dvdsOLD  14891  3lcm2e6  15278  resslem  15760  rescco  16315  oppgtset  17605  mgpsca  18319  mgptset  18320  mgpds  18322  psgnodpmr  19755  matsca  20040  matvsca  20041  tuslem  21881  setsmsds  22091  tngds  22262  logbrec  24320  log2le1  24477  2lgsoddprmlem3a  24935  2lgsoddprmlem3b  24936  2lgsoddprmlem3c  24937  2lgsoddprmlem3d  24938  structvtxval  25698  constr3pthlem1  26183  konigsberg  26514  ex-dif  26672  ex-in  26674  ex-pss  26677  ex-res  26690  oppgle  28984  resvvsca  29165  zlmds  29336  zlmtset  29337  ballotlemi1  29891  sgnnbi  29934  sgnpbi  29935  signswch  29964  fdc  32711  areaquad  36821  stirlinglem4  38970  stirlinglem13  38979  stirlinglem14  38980  stirlingr  38983  dirker2re  38985  dirkerdenne0  38986  dirkerre  38988  dirkertrigeqlem1  38991  dirkercncflem2  38997  dirkercncflem4  38999  fourierdlem16  39016  fourierdlem21  39021  fourierdlem22  39022  fourierdlem66  39065  fourierdlem83  39082  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  fourierswlem  39123  fouriersw  39124  etransclem46  39173  fmtnoprmfac2lem1  40016  konigsberglem2  41423  zlmodzxzldeplem  42081