Theorem ex-in 26674

Description: Example for df-in 3547. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-in	⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Proof of Theorem ex-in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4128	. . 3 ⊢ {1, 8} = ({1} ∪ {8})
2	1	ineq2i 3773	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8}))
3		indi 3832	. . 3 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8}))
4		snsspr1 4285	. . . . . 6 ⊢ {1} ⊆ {1, 3}
5		sseqin2 3779	. . . . . 6 ⊢ ({1} ⊆ {1, 3} ↔ ({1, 3} ∩ {1}) = {1})
6	4, 5	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {1}) = {1}
7		1re 9918	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
8		1lt8 11098	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 8
9	7, 8	gtneii 10028	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 1
10		3re 10971	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		3lt8 11096	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 8
12	10, 11	gtneii 10028	. . . . . . 7 ⊢ 8 ≠ 3
13	9, 12	nelpri 4149	. . . . . 6 ⊢ ¬ 8 ∈ {1, 3}
14		disjsn 4192	. . . . . 6 ⊢ (({1, 3} ∩ {8}) = ∅ ↔ ¬ 8 ∈ {1, 3})
15	13, 14	mpbir 220	. . . . 5 ⊢ ({1, 3} ∩ {8}) = ∅
16	6, 15	uneq12i 3727	. . . 4 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = ({1} ∪ ∅)
17		un0 3919	. . . 4 ⊢ ({1} ∪ ∅) = {1}
18	16, 17	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (({1, 3} ∩ {1}) ∪ ({1, 3} ∩ {8})) = {1}
19	3, 18	eqtri 2632	. 2 ⊢ ({1, 3} ∩ ({1} ∪ {8})) = {1}
20	2, 19	eqtri 2632	1 ⊢ ({1, 3} ∩ {1, 8}) = {1}

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  1c1 9816  3c3 10948  8c8 10953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962

This theorem is referenced by: (None)