MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-in Structured version   Unicode version

Theorem ex-in 23804
Description: Example for df-in 3446. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-in  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  { 1 }

Proof of Theorem ex-in
StepHypRef Expression
1 df-pr 3991 . . 3  |-  { 1 ,  8 }  =  ( { 1 }  u.  { 8 } )
21ineq2i 3660 . 2  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )
3 indi 3707 . . 3  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )  =  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  {
8 } ) )
4 snsspr1 4133 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  3 }
5 dfss1 3666 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  { 1 ,  3 }  <->  ( {
1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  =  { 1 } )
64, 5mpbi 208 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  =  { 1 }
7 1re 9499 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
8 1lt8 10629 . . . . . . . 8  |-  1  <  8
97, 8gtneii 9600 . . . . . . 7  |-  8  =/=  1
10 3re 10509 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
11 3lt8 10627 . . . . . . . 8  |-  3  <  8
1210, 11gtneii 9600 . . . . . . 7  |-  8  =/=  3
139, 12nelpri 4009 . . . . . 6  |-  -.  8  e.  { 1 ,  3 }
14 disjsn 4047 . . . . . 6  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } )  =  (/)  <->  -.  8  e.  { 1 ,  3 } )
1513, 14mpbir 209 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } )  =  (/)
166, 15uneq12i 3619 . . . 4  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } ) )  =  ( { 1 }  u.  (/) )
17 un0 3773 . . . 4  |-  ( { 1 }  u.  (/) )  =  { 1 }
1816, 17eqtri 2483 . . 3  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } ) )  =  { 1 }
193, 18eqtri 2483 . 2  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )  =  { 1 }
202, 19eqtri 2483 1  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  { 1 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   {cpr 3990   1c1 9397   3c3 10486   8c8 10491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator