MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ex-in Structured version   Unicode version

Theorem ex-in 25351
Description: Example for df-in 3468. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ex-in  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  { 1 }

Proof of Theorem ex-in
StepHypRef Expression
1 df-pr 4019 . . 3  |-  { 1 ,  8 }  =  ( { 1 }  u.  { 8 } )
21ineq2i 3683 . 2  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )
3 indi 3741 . . 3  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )  =  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  {
8 } ) )
4 snsspr1 4165 . . . . . 6  |-  { 1 }  C_  { 1 ,  3 }
5 dfss1 3689 . . . . . 6  |-  ( { 1 }  C_  { 1 ,  3 }  <->  ( {
1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  =  { 1 } )
64, 5mpbi 208 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  =  { 1 }
7 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
8 1lt8 10725 . . . . . . . 8  |-  1  <  8
97, 8gtneii 9685 . . . . . . 7  |-  8  =/=  1
10 3re 10605 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
11 3lt8 10723 . . . . . . . 8  |-  3  <  8
1210, 11gtneii 9685 . . . . . . 7  |-  8  =/=  3
139, 12nelpri 4037 . . . . . 6  |-  -.  8  e.  { 1 ,  3 }
14 disjsn 4076 . . . . . 6  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } )  =  (/)  <->  -.  8  e.  { 1 ,  3 } )
1513, 14mpbir 209 . . . . 5  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } )  =  (/)
166, 15uneq12i 3642 . . . 4  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } ) )  =  ( { 1 }  u.  (/) )
17 un0 3809 . . . 4  |-  ( { 1 }  u.  (/) )  =  { 1 }
1816, 17eqtri 2483 . . 3  |-  ( ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 } )  u.  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 8 } ) )  =  { 1 }
193, 18eqtri 2483 . 2  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  ( { 1 }  u.  { 8 } ) )  =  { 1 }
202, 19eqtri 2483 1  |-  ( { 1 ,  3 }  i^i  { 1 ,  8 } )  =  { 1 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1398    e. wcel 1823    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   {cpr 4018   1c1 9482   3c3 10582   8c8 10587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator