MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtneii Structured version   Unicode version

Theorem gtneii 9708
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
ltneii.2  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
gtneii  |-  B  =/= 
A

Proof of Theorem gtneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ltneii.2 . 2  |-  A  < 
B
3 ltne 9693 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3mp2an 672 1  |-  B  =/= 
A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   RRcr 9503    < clt 9640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-resscn 9561  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-ltxr 9645
This theorem is referenced by:  ltneii  9709  fztpval  11753  geo2sum  13662  3dvds  13926  resslem  14565  rescco  15079  oppgtset  16259  mgpsca  17020  mgptset  17021  mgpds  17023  psgnodpmr  18495  matsca  18786  matvsca  18787  tuslem  20638  setsmsds  20847  tngds  21030  constr3pthlem1  24478  konigsberg  24810  ex-dif  24968  ex-in  24970  ex-pss  24973  ex-res  24986  oppgle  27465  zlmds  27770  zlmtset  27771  logbrec  27846  log2le1  27848  ballotlemi1  28266  bpoly4  29748  dvtanlem  29991  fdc  30165  areaquad  31113  3lcm2e6  31143  stirlinglem4  31700  stirlinglem13  31709  stirlinglem14  31710  stirlingr  31713  dirker2re  31715  dirkerdenne0  31716  dirkerval2  31717  dirkercncflem2  31727  fourierdlem66  31796  sqwvfoura  31852  sqwvfourb  31853  fourierswlem  31854  fouriersw  31855  zlmodzxzldeplem  32581  ene1  32650
  Copyright terms: Public domain W3C validator