MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtneii Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gtneii 9746
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
ltneii.2  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
gtneii  |-  B  =/= 
A

Proof of Theorem gtneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ltneii.2 . 2  |-  A  < 
B
3 ltne 9730 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3mp2an 678 1  |-  B  =/= 
A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1887    =/= wne 2622   class class class wbr 4402   RRcr 9538    < clt 9675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680
This theorem is referenced by:  ltneii  9747  fztpval  11857  geo2sum  13929  bpoly4  14112  ene1  14262  3dvds  14369  3lcm2e6  14681  resslem  15182  rescco  15737  oppgtset  17003  mgpsca  17730  mgptset  17731  mgpds  17733  psgnodpmr  19158  matsca  19440  matvsca  19441  tuslem  21282  setsmsds  21491  tngds  21656  logbrec  23719  log2le1  23876  constr3pthlem1  25383  konigsberg  25715  ex-dif  25873  ex-in  25875  ex-pss  25878  ex-res  25891  oppgle  28414  resvvsca  28597  zlmds  28768  zlmtset  28769  ballotlemi1  29335  ballotlemi1OLD  29373  sgnnbi  29416  sgnpbi  29417  signswch  29450  dvtanlemOLD  31991  fdc  32074  areaquad  36101  stirlinglem4  37939  stirlinglem13  37948  stirlinglem14  37949  stirlingr  37952  dirker2re  37954  dirkerdenne0  37955  dirkerre  37957  dirkertrigeqlem1  37960  dirkercncflem2  37966  dirkercncflem4  37968  fourierdlem16  37985  fourierdlem21  37990  fourierdlem22  37991  fourierdlem66  38036  fourierdlem83  38053  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  sqwvfoura  38092  sqwvfourb  38093  fourierswlem  38094  fouriersw  38095  etransclem46  38145  zlmodzxzldeplem  40344
  Copyright terms: Public domain W3C validator