MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gtneii Structured version   Unicode version

Theorem gtneii 9600
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
ltneii.2  |-  A  < 
B
Assertion
Ref Expression
gtneii  |-  B  =/= 
A

Proof of Theorem gtneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ltneii.2 . 2  |-  A  < 
B
3 ltne 9585 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
41, 2, 3mp2an 672 1  |-  B  =/= 
A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   RRcr 9395    < clt 9532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-ltxr 9537
This theorem is referenced by:  ltneii  9601  fztpval  11638  geo2sum  13454  3dvds  13717  resslem  14353  rescco  14867  oppgtset  15989  mgpsca  16723  mgptset  16724  mgpds  16726  psgnodpmr  18148  matsca  18444  matvsca  18445  tuslem  19977  setsmsds  20186  tngds  20369  constr3pthlem1  23713  konigsberg  23780  ex-dif  23802  ex-in  23804  ex-pss  23807  ex-res  23820  oppgle  26279  zlmds  26558  zlmtset  26559  logbrec  26629  log2le1  26631  ballotlemi1  27049  bpoly4  28366  dvtanlem  28609  fdc  28809  areaquad  29760  stirlinglem4  30040  stirlinglem13  30049  stirlinglem14  30050  stirlingr  30053  zlmodzxzldeplem  31192  ene1  31457
  Copyright terms: Public domain W3C validator