Theorem rescco 16315

Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rescbas.d	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
rescbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
rescbas.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
rescco.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rescco	⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Proof of Theorem rescco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccoid 15900	. . 3 ⊢ comp = Slot (comp‘ndx)
2		1nn0 11185	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		4nn 11064	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 11394	. . . . . 6 ⊢ ;14 ∈ ℕ
5	4	nnrei 10906	. . . . 5 ⊢ ;14 ∈ ℝ
6		4nn0 11188	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
7		5nn 11065	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ
8		4lt5 11077	. . . . . 6 ⊢ 4 < 5
9	2, 6, 7, 8	declt 11406	. . . . 5 ⊢ ;14 < ;15
10	5, 9	gtneii 10028	. . . 4 ⊢ ;15 ≠ ;14
11		ccondx 15899	. . . . 5 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
12		homndx 15897	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
13	11, 12	neeq12i 2848	. . . 4 ⊢ ((comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;15 ≠ ;14)
14	10, 13	mpbir 220	. . 3 ⊢ (comp‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
15	1, 14	setsnid 15743	. 2 ⊢ (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
16		rescbas.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
17		rescbas.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
18		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐶) ∈ V
19	17, 18	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
20	19	ssex 4730	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ V)
21	16, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
22		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (𝐶 ↾s 𝑆) = (𝐶 ↾s 𝑆)
23		rescco.o	. . . 4 ⊢ · = (comp‘𝐶)
24	22, 23	ressco 15902	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
25	21, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘(𝐶 ↾s 𝑆)))
26		rescbas.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐻)
27		rescbas.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
28		rescbas.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
29	26, 27, 21, 28	rescval2 16311	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
30	29	fveq2d 6107	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐷) = (comp‘((𝐶 ↾s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
31	15, 25, 30	3eqtr4a 2670	1 ⊢ (𝜑 → · = (comp‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  4c4 10949  5c5 10950  ;cdc 11369  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696  Hom chom 15779  compcco 15780   ↾_cat cresc 16291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-hom 15793  df-cco 15794  df-resc 16294

This theorem is referenced by:  subccatid  16329  issubc3  16332  fullresc  16334  funcres  16379  funcres2b  16380  rngccofval  41762  ringccofval  41808