MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Structured version   Unicode version

Theorem rescco 14737
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
rescco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
Assertion
Ref Expression
rescco  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 ccoid 14348 . . 3  |- comp  = Slot  (comp ` 
ndx )
2 1nn0 10587 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10473 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10760 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 10323 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10590 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10474 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10486 . . . . . 6  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 10768 . . . . 5  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9gtneii 9478 . . . 4  |- ; 1 5  =/= ; 1 4
11 ccondx 14347 . . . . 5  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
12 homndx 14345 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
1311, 12neeq12i 2615 . . . 4  |-  ( (comp `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  <-> ; 1 5  =/= ; 1 4 )
1410, 13mpbir 209 . . 3  |-  (comp `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
151, 14setsnid 14208 . 2  |-  (comp `  ( Cs  S ) )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
16 rescbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 rescbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
18 fvex 5696 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2508 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2019ssex 4431 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2116, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
22 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
23 rescco.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
2422, 23ressco 14350 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
2521, 24syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
26 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
27 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
28 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2926, 27, 21, 28rescval2 14733 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3029fveq2d 5690 . 2  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
3115, 25, 303eqtr4a 2496 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   <.cop 3878    X. cxp 4833    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1c1 9275   4c4 10365   5c5 10366  ;cdc 10747   ndxcnx 14163   sSet csts 14164   Basecbs 14166   ↾s cress 14167   Hom chom 14241  compcco 14242    |`cat cresc 14713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-hom 14254  df-cco 14255  df-resc 14716
This theorem is referenced by:  subccatid  14748  issubc3  14751  fullresc  14753  funcres  14798  funcres2b  14799
  Copyright terms: Public domain W3C validator