MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Structured version   Unicode version

Theorem rescco 15051
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
rescco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
Assertion
Ref Expression
rescco  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 ccoid 14662 . . 3  |- comp  = Slot  (comp ` 
ndx )
2 1nn0 10800 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10684 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10978 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 10534 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10803 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10685 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10697 . . . . . 6  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 10986 . . . . 5  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9gtneii 9685 . . . 4  |- ; 1 5  =/= ; 1 4
11 ccondx 14661 . . . . 5  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
12 homndx 14659 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
1311, 12neeq12i 2749 . . . 4  |-  ( (comp `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  <-> ; 1 5  =/= ; 1 4 )
1410, 13mpbir 209 . . 3  |-  (comp `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
151, 14setsnid 14521 . 2  |-  (comp `  ( Cs  S ) )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
16 rescbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 rescbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
18 fvex 5867 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2544 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2019ssex 4584 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2116, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
22 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
23 rescco.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
2422, 23ressco 14664 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
2521, 24syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
26 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
27 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
28 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2926, 27, 21, 28rescval2 15047 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3029fveq2d 5861 . 2  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
3115, 25, 303eqtr4a 2527 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   <.cop 4026    X. cxp 4990    Fn wfn 5574   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482   4c4 10576   5c5 10577  ;cdc 10965   ndxcnx 14476   sSet csts 14477   Basecbs 14479   ↾s cress 14480   Hom chom 14555  compcco 14556    |`cat cresc 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-hom 14568  df-cco 14569  df-resc 15030
This theorem is referenced by:  subccatid  15062  issubc3  15065  fullresc  15067  funcres  15112  funcres2b  15113
  Copyright terms: Public domain W3C validator