MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Structured version   Unicode version

Theorem rescco 14727
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
rescco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
Assertion
Ref Expression
rescco  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 ccoid 14338 . . 3  |- comp  = Slot  (comp ` 
ndx )
2 1nn0 10582 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10468 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 10755 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 10318 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10585 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10469 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10481 . . . . . 6  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 10763 . . . . 5  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9gtneii 9473 . . . 4  |- ; 1 5  =/= ; 1 4
11 ccondx 14337 . . . . 5  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
12 homndx 14335 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
1311, 12neeq12i 2610 . . . 4  |-  ( (comp `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  <-> ; 1 5  =/= ; 1 4 )
1410, 13mpbir 209 . . 3  |-  (comp `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
151, 14setsnid 14198 . 2  |-  (comp `  ( Cs  S ) )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
16 rescbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 rescbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
18 fvex 5689 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2503 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2019ssex 4424 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2116, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
22 eqid 2433 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
23 rescco.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
2422, 23ressco 14340 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
2521, 24syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
26 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
27 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
28 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2926, 27, 21, 28rescval2 14723 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3029fveq2d 5683 . 2  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
3115, 25, 303eqtr4a 2491 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   <.cop 3871    X. cxp 4825    Fn wfn 5401   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   1c1 9270   4c4 10360   5c5 10361  ;cdc 10742   ndxcnx 14153   sSet csts 14154   Basecbs 14156   ↾s cress 14157   Hom chom 14231  compcco 14232    |`cat cresc 14703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-hom 14244  df-cco 14245  df-resc 14706
This theorem is referenced by:  subccatid  14738  issubc3  14741  fullresc  14743  funcres  14788  funcres2b  14789
  Copyright terms: Public domain W3C validator