MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescco Structured version   Unicode version

Theorem rescco 15248
Description: Composition in the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
rescco.o  |-  .x.  =  (comp `  C )
Assertion
Ref Expression
rescco  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )

Proof of Theorem rescco
StepHypRef Expression
1 ccoid 14834 . . 3  |- comp  = Slot  (comp ` 
ndx )
2 1nn0 10832 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
3 4nn 10716 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
42, 3decnncl 11013 . . . . . 6  |- ; 1 4  e.  NN
54nnrei 10565 . . . . 5  |- ; 1 4  e.  RR
6 4nn0 10835 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
7 5nn 10717 . . . . . 6  |-  5  e.  NN
8 4lt5 10729 . . . . . 6  |-  4  <  5
92, 6, 7, 8declt 11021 . . . . 5  |- ; 1 4  < ; 1 5
105, 9gtneii 9713 . . . 4  |- ; 1 5  =/= ; 1 4
11 ccondx 14833 . . . . 5  |-  (comp `  ndx )  = ; 1 5
12 homndx 14831 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
1311, 12neeq12i 2746 . . . 4  |-  ( (comp `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )  <-> ; 1 5  =/= ; 1 4 )
1410, 13mpbir 209 . . 3  |-  (comp `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
151, 14setsnid 14688 . 2  |-  (comp `  ( Cs  S ) )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
16 rescbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
17 rescbas.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  C
)
18 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2541 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2019ssex 4600 . . . 4  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2116, 20syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
22 eqid 2457 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
23 rescco.o . . . 4  |-  .x.  =  (comp `  C )
2422, 23ressco 14836 . . 3  |-  ( S  e.  _V  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
2521, 24syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  ( Cs  S ) ) )
26 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
27 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
28 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2926, 27, 21, 28rescval2 15244 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
3029fveq2d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
3115, 25, 303eqtr4a 2524 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (comp `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   <.cop 4038    X. cxp 5006    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1c1 9510   4c4 10608   5c5 10609  ;cdc 11000   ndxcnx 14641   sSet csts 14642   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   Hom chom 14723  compcco 14724    |`cat cresc 15224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-hom 14736  df-cco 14737  df-resc 15227
This theorem is referenced by:  subccatid  15262  issubc3  15265  fullresc  15267  funcres  15312  funcres2b  15313  rngccofval  32922  ringccofval  32968
  Copyright terms: Public domain W3C validator