Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resslem 15760
 Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
resslem.r 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
resslem.e 𝐶 = (𝐸𝑊)
resslem.f 𝐸 = Slot 𝑁
resslem.n 𝑁 ∈ ℕ
resslem.b 1 < 𝑁
Assertion
Ref Expression
resslem (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))

Proof of Theorem resslem
StepHypRef Expression
1 resslem.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊s 𝐴)
2 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
31, 2ressid2 15755 . . . . . 6 (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
43fveq2d 6107 . . . . 5 (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
543expib 1260 . . . 4 ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
61, 2ressval2 15756 . . . . . . 7 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
76fveq2d 6107 . . . . . 6 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8 resslem.f . . . . . . . 8 𝐸 = Slot 𝑁
9 resslem.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
108, 9ndxid 15716 . . . . . . 7 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
118, 9ndxarg 15715 . . . . . . . . 9 (𝐸‘ndx) = 𝑁
12 1re 9918 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
13 resslem.b . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
1412, 13gtneii 10028 . . . . . . . . 9 𝑁 ≠ 1
1511, 14eqnetri 2852 . . . . . . . 8 (𝐸‘ndx) ≠ 1
16 basendx 15751 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
1715, 16neeqtrri 2855 . . . . . . 7 (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
1810, 17setsnid 15743 . . . . . 6 (𝐸𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
197, 18syl6eqr 2662 . . . . 5 ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
20193expib 1260 . . . 4 (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊)))
215, 20pm2.61i 175 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
22 reldmress 15753 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾s
2322ovprc1 6582 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝐴) = ∅)
241, 23syl5eq 2656 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
2524fveq2d 6107 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸‘∅))
268str0 15739 . . . . . 6 ∅ = (𝐸‘∅)
2725, 26syl6eqr 2662 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = ∅)
28 fvprc 6097 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑊) = ∅)
2927, 28eqtr4d 2647 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3029adantr 480 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
3121, 30pm2.61ian 827 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐸𝑅) = (𝐸𝑊))
32 resslem.e . 2 𝐶 = (𝐸𝑊)
3331, 32syl6reqr 2663 1 (𝐴𝑉𝐶 = (𝐸𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Slot cslot 15694  Basecbs 15695   ↾s cress 15696 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702 This theorem is referenced by:  ressplusg  15818  ressmulr  15829  ressstarv  15830  resssca  15854  ressvsca  15855  ressip  15856  resstset  15869  ressle  15882  ressds  15896  resshom  15901  ressco  15902  ressunif  21876
 Copyright terms: Public domain W3C validator