MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resslem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem resslem 15182
Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
resslem.r  |-  R  =  ( Ws  A )
resslem.e  |-  C  =  ( E `  W
)
resslem.f  |-  E  = Slot 
N
resslem.n  |-  N  e.  NN
resslem.b  |-  1  <  N
Assertion
Ref Expression
resslem  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )

Proof of Theorem resslem
StepHypRef Expression
1 resslem.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( Ws  A )
2 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
31, 2ressid2 15177 . . . . . 6  |-  ( ( ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  W )
43fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( ( ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
543expib 1211 . . . 4  |-  ( (
Base `  W )  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
61, 2ressval2 15178 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  R  =  ( W sSet  <. (
Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W ) )
>. ) )
76fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W ) ) >.
) ) )
8 resslem.f . . . . . . . 8  |-  E  = Slot 
N
9 resslem.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
108, 9ndxid 15142 . . . . . . 7  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
118, 9ndxarg 15141 . . . . . . . . 9  |-  ( E `
 ndx )  =  N
12 1re 9642 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
13 resslem.b . . . . . . . . . 10  |-  1  <  N
1412, 13gtneii 9746 . . . . . . . . 9  |-  N  =/=  1
1511, 14eqnetri 2694 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =/=  1
16 basendx 15173 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ndx )  =  1
1715, 16neeqtrri 2697 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( Base `  ndx )
1810, 17setsnid 15165 . . . . . 6  |-  ( E `
 W )  =  ( E `  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W
) ) >. )
)
197, 18syl6eqr 2503 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( Base `  W
)  C_  A  /\  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
20193expib 1211 . . . 4  |-  ( -.  ( Base `  W
)  C_  A  ->  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) ) )
215, 20pm2.61i 168 . . 3  |-  ( ( W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R
)  =  ( E `
 W ) )
22 reldmress 15175 . . . . . . . . 9  |-  Rel  doms
2322ovprc1 6321 . . . . . . . 8  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( Ws  A )  =  (/) )
241, 23syl5eq 2497 . . . . . . 7  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  R  =  (/) )
2524fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  (/) ) )
268str0 15161 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
2725, 26syl6eqr 2503 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  (/) )
28 fvprc 5859 . . . . 5  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  W )  =  (/) )
2927, 28eqtr4d 2488 . . . 4  |-  ( -.  W  e.  _V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
3029adantr 467 . . 3  |-  ( ( -.  W  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
3121, 30pm2.61ian 799 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( E `  R )  =  ( E `  W ) )
32 resslem.e . 2  |-  C  =  ( E `  W
)
3331, 32syl6reqr 2504 1  |-  ( A  e.  V  ->  C  =  ( E `  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   <.cop 3974   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540    < clt 9675   NNcn 10609   ndxcnx 15118   sSet csts 15119  Slot cslot 15120   Basecbs 15121   ↾s cress 15122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680  df-nn 10610  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128
This theorem is referenced by:  ressplusg  15239  ressmulr  15250  ressstarv  15251  resssca  15275  ressvsca  15276  ressip  15277  resstset  15290  ressle  15297  ressds  15311  resshom  15316  ressco  15317  ressunif  21277
  Copyright terms: Public domain W3C validator