Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabren3dioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabren3dioph 36397
Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rabren3dioph.a (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) → (𝜑𝜓))
rabren3dioph.b 𝑋 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.c 𝑌 ∈ (1...𝑁)
rabren3dioph.d 𝑍 ∈ (1...𝑁)
Assertion
Ref Expression
rabren3dioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝜓,𝑎   𝜑,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏   𝑍,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝜓(𝑏)

Proof of Theorem rabren3dioph
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
2 tpex 6855 . . . . . 6 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} ∈ V
31, 2coex 7011 . . . . 5 (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) ∈ V
4 1ne2 11117 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
5 1re 9918 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
6 1lt3 11073 . . . . . . . . . . . 12 1 < 3
75, 6ltneii 10029 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 3
8 2re 10967 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
9 2lt3 11072 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
108, 9ltneii 10029 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 3
11 1ex 9914 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
12 2ex 10969 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
13 3ex 10973 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ V
14 rabren3dioph.b . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ (1...𝑁)
1514elexi 3186 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ V
16 rabren3dioph.c . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 ∈ (1...𝑁)
1716elexi 3186 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 ∈ V
18 rabren3dioph.d . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 ∈ (1...𝑁)
1918elexi 3186 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 ∈ V
2011, 12, 13, 15, 17, 19fntp 5863 . . . . . . . . . . 11 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3})
214, 7, 10, 20mp3an 1416 . . . . . . . . . 10 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3}
2211tpid1 4246 . . . . . . . . . 10 1 ∈ {1, 2, 3}
23 fvco2 6183 . . . . . . . . . 10 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 1 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)))
2421, 22, 23mp2an 704 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1))
2511, 15fvtp1 6365 . . . . . . . . . . 11 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋)
264, 7, 25mp2an 704 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1) = 𝑋
2726fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘1)) = (𝑏𝑋)
2824, 27eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋)
2912tpid2 4247 . . . . . . . . . 10 2 ∈ {1, 2, 3}
30 fvco2 6183 . . . . . . . . . 10 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 2 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)))
3121, 29, 30mp2an 704 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2))
3212, 17fvtp2 6366 . . . . . . . . . . 11 ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌)
334, 10, 32mp2an 704 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2) = 𝑌
3433fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘2)) = (𝑏𝑌)
3531, 34eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌)
3613tpid3 4250 . . . . . . . . . 10 3 ∈ {1, 2, 3}
37 fvco2 6183 . . . . . . . . . 10 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩} Fn {1, 2, 3} ∧ 3 ∈ {1, 2, 3}) → ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)))
3821, 36, 37mp2an 704 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3))
3913, 19fvtp3 6367 . . . . . . . . . . 11 ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍)
407, 10, 39mp2an 704 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3) = 𝑍
4140fveq2i 6106 . . . . . . . . 9 (𝑏‘({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}‘3)) = (𝑏𝑍)
4238, 41eqtri 2632 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍)
4328, 35, 423pm3.2i 1232 . . . . . . 7 (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍))
44 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘1) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1))
4544eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋)))
46 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘2) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2))
4746eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌)))
48 fveq1 6102 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝑎‘3) = ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3))
4948eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘3) = (𝑏𝑍) ↔ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍)))
5045, 47, 493anbi123d 1391 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) ↔ (((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘1) = (𝑏𝑋) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘2) = (𝑏𝑌) ∧ ((𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩})‘3) = (𝑏𝑍))))
5143, 50mpbiri 247 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → ((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)))
52 rabren3dioph.a . . . . . 6 (((𝑎‘1) = (𝑏𝑋) ∧ (𝑎‘2) = (𝑏𝑌) ∧ (𝑎‘3) = (𝑏𝑍)) → (𝜑𝜓))
5351, 52syl 17 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) → (𝜑𝜓))
543, 53sbcie 3437 . . . 4 ([(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑𝜓)
5554a1i 11 . . 3 (𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) → ([(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑𝜓))
5655rabbiia 3161 . 2 {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝜓}
5711, 12, 13, 15, 17, 19, 4, 7, 10ftp 6329 . . . . 5 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
58 1z 11284 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
59 fztp 12267 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
61 1p2e3 11029 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
6261oveq2i 6560 . . . . . . 7 (1...(1 + 2)) = (1...3)
63 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 = 1)
64 1p1e2 11011 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 + 1) = 2)
6661a1i 11 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 + 2) = 3)
6763, 65, 66tpeq123d 4227 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
6858, 67ax-mp 5 . . . . . . 7 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
6960, 62, 683eqtr3i 2640 . . . . . 6 (1...3) = {1, 2, 3}
7069feq2i 5950 . . . . 5 ({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ↔ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍})
7157, 70mpbir 220 . . . 4 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍}
7214, 16, 183pm3.2i 1232 . . . . 5 (𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁))
7315, 17, 19tpss 4308 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑌 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑍 ∈ (1...𝑁)) ↔ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁))
7472, 73mpbi 219 . . . 4 {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)
75 fss 5969 . . . 4 (({⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶{𝑋, 𝑌, 𝑍} ∧ {𝑋, 𝑌, 𝑍} ⊆ (1...𝑁)) → {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁))
7671, 74, 75mp2an 704 . . 3 {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁)
77 rabrenfdioph 36396 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}:(1...3)⟶(1...𝑁) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7876, 77mp3an2 1404 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ [(𝑏 ∘ {⟨1, 𝑋⟩, ⟨2, 𝑌⟩, ⟨3, 𝑍⟩}) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
7956, 78syl5eqelr 2693 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ 𝜓} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  {crab 2900  [wsbc 3402  wss 3540  {ctp 4129  cop 4131  ccom 5042   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  3c3 10948  0cn0 11169  cz 11254  ...cfz 12197  Diophcdioph 36336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-mzpcl 36304  df-mzp 36305  df-dioph 36337
This theorem is referenced by:  rmxdioph  36601  expdiophlem2  36607
  Copyright terms: Public domain W3C validator