Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabrenfdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabrenfdioph 36396
 Description: Change variable numbers in a Diophantine class abstraction using explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rabrenfdioph ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑏   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐹,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑎)

Proof of Theorem rabrenfdioph
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵))) → 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)))
2 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵))) → 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵))
3 ovex 6577 . . . . . . . 8 (1...𝐴) ∈ V
43mapco2 36296 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∧ 𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → (𝑏𝐹) ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)))
51, 2, 4syl2anc 691 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵))) → (𝑏𝐹) ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)))
65biantrurd 528 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵))) → ([(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ ((𝑏𝐹) ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∧ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑)))
7 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑎(ℕ0𝑚 (1...𝐴))
87elrabsf 3441 . . . . 5 ((𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ↔ ((𝑏𝐹) ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∧ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑))
96, 8syl6bbr 277 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵))) → ([(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑 ↔ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}))
109rabbidva 3163 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
11103adant3 1074 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} = {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}})
12 diophren 36395 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
13123coml 1264 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∣ (𝑏𝐹) ∈ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑}} ∈ (Dioph‘𝐵))
1411, 13eqeltrd 2688 1 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐹:(1...𝐴)⟶(1...𝐵) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐴)) ∣ 𝜑} ∈ (Dioph‘𝐴)) → {𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝐵)) ∣ [(𝑏𝐹) / 𝑎]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  [wsbc 3402   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  1c1 9816  ℕ0cn0 11169  ...cfz 12197  Diophcdioph 36336 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-mzpcl 36304  df-mzp 36305  df-dioph 36337 This theorem is referenced by:  rabren3dioph  36397
 Copyright terms: Public domain W3C validator