Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabren3dioph Structured version   Unicode version

Theorem rabren3dioph 29159
Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rabren3dioph.a  |-  ( ( ( a `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( a `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( a `  3
)  =  ( b `
 Z ) )  ->  ( ph  <->  ps )
)
rabren3dioph.b  |-  X  e.  ( 1 ... N
)
rabren3dioph.c  |-  Y  e.  ( 1 ... N
)
rabren3dioph.d  |-  Z  e.  ( 1 ... N
)
Assertion
Ref Expression
rabren3dioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    ps, a    ph, b    X, a, b    Y, a, b    Z, a, b    N, a, b
Allowed substitution hints:    ph( a)    ps( b)

Proof of Theorem rabren3dioph
StepHypRef Expression
1 vex 2980 . . . . . 6  |-  b  e. 
_V
2 tpex 6384 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  e.  _V
31, 2coex 6534 . . . . 5  |-  ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  e. 
_V
4 1ne2 10539 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  2
5 1re 9390 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
6 1lt3 10495 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  3
75, 6ltneii 9492 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  3
8 2re 10396 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10494 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  3
108, 9ltneii 9492 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  3
11 1ex 9386 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  _V
12 2ex 10398 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  _V
13 3ex 10402 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  _V
14 rabren3dioph.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  e.  ( 1 ... N
)
1514elexi 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  e. 
_V
16 rabren3dioph.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  e.  ( 1 ... N
)
1716elexi 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  e. 
_V
18 rabren3dioph.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  e.  ( 1 ... N
)
1918elexi 2987 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  e. 
_V
2011, 12, 13, 15, 17, 19fntp 5479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  2  /\  1  =/=  3  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  {
1 ,  2 ,  3 } )
214, 7, 10, 20mp3an 1314 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  { 1 ,  2 ,  3 }
2211tpid1 3993 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
23 fvco2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  1  e. 
{ 1 ,  2 ,  3 } )  ->  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
1 )  =  ( b `  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 ) ) )
2421, 22, 23mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 ) )
2511, 15fvtp1 5930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  2  /\  1  =/=  3 )  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 )  =  X )
264, 7, 25mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 )  =  X
2726fveq2i 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 ) )  =  ( b `
 X )
2824, 27eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 X )
2912tpid2 3994 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
30 fvco2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  2  e. 
{ 1 ,  2 ,  3 } )  ->  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
2 )  =  ( b `  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 ) ) )
3121, 29, 30mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 ) )
3212, 17fvtp2 5931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  2  /\  2  =/=  3 )  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 )  =  Y )
334, 10, 32mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 )  =  Y
3433fveq2i 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 ) )  =  ( b `
 Y )
3531, 34eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 Y )
3613tpid3 3996 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
37 fvco2 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  3  e. 
{ 1 ,  2 ,  3 } )  ->  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
3 )  =  ( b `  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 ) ) )
3821, 36, 37mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 ) )
3913, 19fvtp3 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  3  /\  2  =/=  3 )  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 )  =  Z )
407, 10, 39mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 )  =  Z
4140fveq2i 5699 . . . . . . . . 9  |-  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 ) )  =  ( b `
 Z )
4238, 41eqtri 2463 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 Z )
4328, 35, 423pm3.2i 1166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 Z ) )
44 fveq1 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
a `  1 )  =  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
1 ) )
4544eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( a `  1
)  =  ( b `
 X )  <->  ( (
b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 X ) ) )
46 fveq1 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
a `  2 )  =  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
2 ) )
4746eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( a `  2
)  =  ( b `
 Y )  <->  ( (
b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 Y ) ) )
48 fveq1 5695 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
a `  3 )  =  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
3 ) )
4948eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( a `  3
)  =  ( b `
 Z )  <->  ( (
b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 Z ) ) )
5045, 47, 493anbi123d 1289 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( ( a ` 
1 )  =  ( b `  X )  /\  ( a ` 
2 )  =  ( b `  Y )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( b `  Z ) )  <->  ( ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 Z ) ) ) )
5143, 50mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( a `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( a `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( a `  3
)  =  ( b `
 Z ) ) )
52 rabren3dioph.a . . . . . 6  |-  ( ( ( a `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( a `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( a `  3
)  =  ( b `
 Z ) )  ->  ( ph  <->  ps )
)
5351, 52syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
543, 53sbcie 3226 . . . 4  |-  ( [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  /  a ]. ph  <->  ps )
5554a1i 11 . . 3  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  /  a ]. ph  <->  ps ) )
5655rabbiia 2966 . 2  |-  { b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  /  a ]. ph }  =  {
b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  ps }
5711, 12, 13, 15, 17, 19, 4, 7, 10ftp 5898 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : { 1 ,  2 ,  3 } --> { X ,  Y ,  Z }
58 1z 10681 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
59 fztp 11517 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  2 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) } )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 1  +  2 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }
61 1p2e3 10451 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
6261oveq2i 6107 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 1  +  2 ) )  =  ( 1 ... 3
)
63 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  =  1 )
64 1p1e2 10440 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6564a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
6661a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1  +  2 )  =  3 )
6763, 65, 66tpeq123d 3974 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }  =  { 1 ,  2 ,  3 } )
6858, 67ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }  =  { 1 ,  2 ,  3 }
6960, 62, 683eqtr3i 2471 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 3 )  =  { 1 ,  2 ,  3 }
7069feq2i 5557 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X ,  Y ,  Z }  <->  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : { 1 ,  2 ,  3 } --> { X ,  Y ,  Z }
)
7157, 70mpbir 209 . . . 4  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X ,  Y ,  Z }
7214, 16, 183pm3.2i 1166 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 1 ... N )  /\  Y  e.  ( 1 ... N
)  /\  Z  e.  ( 1 ... N
) )
7315, 17, 19tpss 4043 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( 1 ... N )  /\  Y  e.  ( 1 ... N )  /\  Z  e.  ( 1 ... N ) )  <->  { X ,  Y ,  Z }  C_  ( 1 ... N ) )
7472, 73mpbi 208 . . . 4  |-  { X ,  Y ,  Z }  C_  ( 1 ... N
)
75 fss 5572 . . . 4  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X ,  Y ,  Z }  /\  { X ,  Y ,  Z }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N ) )
7671, 74, 75mp2an 672 . . 3  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N )
77 rabrenfdioph 29158 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N )  /\  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 3 ) )  |  ph }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  / 
a ]. ph }  e.  (Dioph `  N ) )
7876, 77mp3an2 1302 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  / 
a ]. ph }  e.  (Dioph `  N ) )
7956, 78syl5eqelr 2528 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   {crab 2724   [.wsbc 3191    C_ wss 3333   {ctp 3886   <.cop 3888    o. ccom 4849    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   1c1 9288    + caddc 9290   2c2 10376   3c3 10377   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ...cfz 11442  Diophcdioph 29098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-mzpcl 29064  df-mzp 29065  df-dioph 29099
This theorem is referenced by:  rmxdioph  29370  expdiophlem2  29376
  Copyright terms: Public domain W3C validator