Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabren3dioph Unicode version

Theorem rabren3dioph 26766
Description: Change variable numbers in a 3-variable Diophantine class abstraction. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rabren3dioph.a  |-  ( ( ( a `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( a `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( a `  3
)  =  ( b `
 Z ) )  ->  ( ph  <->  ps )
)
rabren3dioph.b  |-  X  e.  ( 1 ... N
)
rabren3dioph.c  |-  Y  e.  ( 1 ... N
)
rabren3dioph.d  |-  Z  e.  ( 1 ... N
)
Assertion
Ref Expression
rabren3dioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    ps, a    ph, b    X, a, b    Y, a, b    Z, a, b    N, a, b
Allowed substitution hints:    ph( a)    ps( b)

Proof of Theorem rabren3dioph
StepHypRef Expression
1 vex 2919 . . . . . 6  |-  b  e. 
_V
2 tpex 4667 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  e.  _V
31, 2coex 5372 . . . . 5  |-  ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  e. 
_V
4 1ne2 10143 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  2
5 1re 9046 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
6 1lt3 10100 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  3
75, 6ltneii 9142 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  3
8 2re 10025 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10099 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  <  3
108, 9ltneii 9142 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  3
11 1ex 9042 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  _V
12 2nn 10089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
1312elexi 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  _V
14 3nn 10090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN
1514elexi 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  _V
16 rabren3dioph.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  e.  ( 1 ... N
)
1716elexi 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  e. 
_V
18 rabren3dioph.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  e.  ( 1 ... N
)
1918elexi 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  Y  e. 
_V
20 rabren3dioph.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  e.  ( 1 ... N
)
2120elexi 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  Z  e. 
_V
2211, 13, 15, 17, 19, 21fntp 5466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  2  /\  1  =/=  3  /\  2  =/=  3 )  ->  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  {
1 ,  2 ,  3 } )
234, 7, 10, 22mp3an 1279 . . . . . . . . . 10  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  { 1 ,  2 ,  3 }
2411tpid1 3877 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
25 fvco2 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  1  e. 
{ 1 ,  2 ,  3 } )  ->  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
1 )  =  ( b `  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 ) ) )
2623, 24, 25mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 ) )
2711, 17fvtp1 5898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  2  /\  1  =/=  3 )  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 )  =  X )
284, 7, 27mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 )  =  X
2928fveq2i 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  1 ) )  =  ( b `
 X )
3026, 29eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 X )
3113tpid2 3878 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
32 fvco2 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  2  e. 
{ 1 ,  2 ,  3 } )  ->  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
2 )  =  ( b `  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 ) ) )
3323, 31, 32mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 ) )
3413, 19fvtp2 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  2  /\  2  =/=  3 )  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 )  =  Y )
354, 10, 34mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 )  =  Y
3635fveq2i 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  2 ) )  =  ( b `
 Y )
3733, 36eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 Y )
3815tpid3 3880 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  { 1 ,  2 ,  3 }
39 fvco2 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. }  Fn  { 1 ,  2 ,  3 }  /\  3  e. 
{ 1 ,  2 ,  3 } )  ->  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
3 )  =  ( b `  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 ) ) )
4023, 38, 39mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 ) )
4115, 21fvtp3 5900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  3  /\  2  =/=  3 )  ->  ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 )  =  Z )
427, 10, 41mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 )  =  Z
4342fveq2i 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( b `
 ( { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } `  3 ) )  =  ( b `
 Z )
4440, 43eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 Z )
4530, 37, 443pm3.2i 1132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 Z ) )
46 fveq1 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
a `  1 )  =  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
1 ) )
4746eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( a `  1
)  =  ( b `
 X )  <->  ( (
b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 X ) ) )
48 fveq1 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
a `  2 )  =  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
2 ) )
4948eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( a `  2
)  =  ( b `
 Y )  <->  ( (
b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 Y ) ) )
50 fveq1 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
a `  3 )  =  ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) ` 
3 ) )
5150eqeq1d 2412 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( a `  3
)  =  ( b `
 Z )  <->  ( (
b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 Z ) ) )
5247, 49, 513anbi123d 1254 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( ( a ` 
1 )  =  ( b `  X )  /\  ( a ` 
2 )  =  ( b `  Y )  /\  ( a ` 
3 )  =  ( b `  Z ) )  <->  ( ( ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } ) `  3
)  =  ( b `
 Z ) ) ) )
5345, 52mpbiri 225 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  (
( a `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( a `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( a `  3
)  =  ( b `
 Z ) ) )
54 rabren3dioph.a . . . . . 6  |-  ( ( ( a `  1
)  =  ( b `
 X )  /\  ( a `  2
)  =  ( b `
 Y )  /\  ( a `  3
)  =  ( b `
 Z ) )  ->  ( ph  <->  ps )
)
5553, 54syl 16 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  o. 
{ <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
563, 55sbcie 3155 . . . 4  |-  ( [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  /  a ]. ph  <->  ps )
5756a1i 11 . . 3  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  ->  ( [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  /  a ]. ph  <->  ps ) )
5857rabbiia 2906 . 2  |-  { b  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N
) )  |  [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  /  a ]. ph }  =  {
b  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... N ) )  |  ps }
5911, 13, 15, 17, 19, 21, 4, 7, 10ftp 5876 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : { 1 ,  2 ,  3 } --> { X ,  Y ,  Z }
60 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
61 fztp 11058 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  2 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) } )
6260, 61ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 1  +  2 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }
63 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
64 2cn 10026 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
6563, 64addcomi 9213 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  2 )  =  ( 2  +  1 )
66 df-3 10015 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6765, 66eqtr4i 2427 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
6867oveq2i 6051 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( 1  +  2 ) )  =  ( 1 ... 3
)
69 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  =  1 )
70 1p1e2 10050 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  +  1 )  =  2
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
7267a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1  +  2 )  =  3 )
7369, 71, 72tpeq123d 3858 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }  =  { 1 ,  2 ,  3 } )
7460, 73ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { 1 ,  ( 1  +  1 ) ,  ( 1  +  2 ) }  =  { 1 ,  2 ,  3 }
7562, 68, 743eqtr3i 2432 . . . . . 6  |-  ( 1 ... 3 )  =  { 1 ,  2 ,  3 }
7675feq2i 5545 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X ,  Y ,  Z }  <->  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : { 1 ,  2 ,  3 } --> { X ,  Y ,  Z }
)
7759, 76mpbir 201 . . . 4  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X ,  Y ,  Z }
7816, 18, 203pm3.2i 1132 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( 1 ... N )  /\  Y  e.  ( 1 ... N
)  /\  Z  e.  ( 1 ... N
) )
7917, 19, 21tpss 3924 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( 1 ... N )  /\  Y  e.  ( 1 ... N )  /\  Z  e.  ( 1 ... N ) )  <->  { X ,  Y ,  Z }  C_  ( 1 ... N ) )
8078, 79mpbi 200 . . . 4  |-  { X ,  Y ,  Z }  C_  ( 1 ... N
)
81 fss 5558 . . . 4  |-  ( ( { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> { X ,  Y ,  Z }  /\  { X ,  Y ,  Z }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N ) )
8277, 80, 81mp2an 654 . . 3  |-  { <. 1 ,  X >. , 
<. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N )
83 rabrenfdioph 26765 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  {
<. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } : ( 1 ... 3 ) --> ( 1 ... N )  /\  { a  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... 3 ) )  |  ph }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  / 
a ]. ph }  e.  (Dioph `  N ) )
8482, 83mp3an2 1267 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  [. ( b  o.  { <. 1 ,  X >. ,  <. 2 ,  Y >. ,  <. 3 ,  Z >. } )  / 
a ]. ph }  e.  (Dioph `  N ) )
8558, 84syl5eqelr 2489 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... 3 ) )  | 
ph }  e.  (Dioph `  3 ) )  ->  { b  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  ps }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670   [.wsbc 3121    C_ wss 3280   {ctp 3776   <.cop 3777    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ^m cmap 6977   1c1 8947    + caddc 8949   NNcn 9956   2c2 10005   3c3 10006   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999  Diophcdioph 26703
This theorem is referenced by:  rmxdioph  26977  expdiophlem2  26983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574  df-mzpcl 26670  df-mzp 26671  df-dioph 26704
  Copyright terms: Public domain W3C validator