Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvacos 32667
 Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
Assertion
Ref Expression
dvacos (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvacos
StepHypRef Expression
1 df-acos 24393 . . . . 5 arccos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
21reseq1i 5313 . . . 4 (arccos ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷)
3 dvasin.d . . . . . 6 𝐷 = (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
4 difss 3699 . . . . . 6 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ⊆ ℂ
53, 4eqsstri 3598 . . . . 5 𝐷 ⊆ ℂ
6 resmpt 5369 . . . . 5 (𝐷 ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
82, 7eqtri 2632 . . 3 (arccos ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))
98oveq2i 6560 . 2 (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥))))
10 cnelprrecn 9908 . . . . 5 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
12 halfpire 24020 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℝ
1312recni 9931 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℂ
1413a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (π / 2) ∈ ℂ)
15 c0ex 9913 . . . . 5 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 0 ∈ V)
1713a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (π / 2) ∈ ℂ)
1815a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ V)
1913a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (π / 2) ∈ ℂ)
2011, 19dvmptc 23527 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (π / 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
215a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐷 ⊆ ℂ)
22 eqid 2610 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2322cnfldtopon 22396 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2423toponunii 20547 . . . . . . . 8 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2524restid 15917 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
2623, 25ax-mp 5 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
2726eqcomi 2619 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
2822recld2 22425 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
29 neg1rr 11002 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
30 iocmnfcld 22382 . . . . . . . . . . . 12 (-1 ∈ ℝ → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
3222tgioo2 22414 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3332fveq2i 6106 . . . . . . . . . . 11 (Clsd‘(topGen‘ran (,))) = (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
3431, 33eleqtri 2686 . . . . . . . . . 10 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
35 restcldr 20788 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
3628, 34, 35mp2an 704 . . . . . . . . 9 (-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
37 1re 9918 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
38 icopnfcld 22381 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
4039, 33eleqtri 2686 . . . . . . . . . 10 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
41 restcldr 20788 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))) → (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
4228, 40, 41mp2an 704 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
43 uncld 20655 . . . . . . . . 9 (((-∞(,]-1) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ (1[,)+∞) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))) → ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
4436, 42, 43mp2an 704 . . . . . . . 8 ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))
4524cldopn 20645 . . . . . . . 8 (((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) → (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
473, 46eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
4847a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐷 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
4911, 17, 18, 20, 21, 27, 22, 48dvmptres 23532 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (π / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ 0))
505sseli 3564 . . . . . 6 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
51 asincl 24400 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
5250, 51syl 17 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
5352adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (arcsin‘𝑥) ∈ ℂ)
54 ovex 6577 . . . . 5 (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V
5554a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) ∈ V)
563dvasin 32666 . . . . 5 (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
57 asinf 24399 . . . . . . . 8 arcsin:ℂ⟶ℂ
5857a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → arcsin:ℂ⟶ℂ)
5958, 21feqresmpt 6160 . . . . . 6 (⊤ → (arcsin ↾ 𝐷) = (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥)))
6059oveq2d 6565 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (arcsin ↾ 𝐷)) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))))
6156, 60syl5reqr 2659 . . . 4 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (arcsin‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
6211, 14, 16, 49, 53, 55, 61dvmptsub 23536 . . 3 (⊤ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
6362trud 1484 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ ((π / 2) − (arcsin‘𝑥)))) = (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))))
64 df-neg 10148 . . . 4 -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
65 1cnd 9935 . . . . 5 (𝑥𝐷 → 1 ∈ ℂ)
66 ax-1cn 9873 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
6750sqcld 12868 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
68 subcl 10159 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
6966, 67, 68sylancr 694 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
7069sqrtcld 14024 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ∈ ℂ)
71 eldifn 3695 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
7271, 3eleq2s 2706 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ¬ 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
73 mnfxr 9975 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
7429rexri 9976 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ*
75 mnflt 11833 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 ∈ ℝ → -∞ < -1)
7629, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 -∞ < -1
77 ubioc1 12098 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -1 ∈ ℝ* ∧ -∞ < -1) → -1 ∈ (-∞(,]-1))
7873, 74, 76, 77mp3an 1416 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ (-∞(,]-1)
79 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = -1 → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ↔ -1 ∈ (-∞(,]-1)))
8078, 79mpbiri 247 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = -1 → 𝑥 ∈ (-∞(,]-1))
8137rexri 9976 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ*
82 pnfxr 9971 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
83 ltpnf 11830 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
8437, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 1 < +∞
85 lbico1 12099 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 1 < +∞) → 1 ∈ (1[,)+∞))
8681, 82, 84, 85mp3an 1416 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (1[,)+∞)
87 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ 1 ∈ (1[,)+∞)))
8886, 87mpbiri 247 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
8980, 88orim12i 537 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = -1 ∨ 𝑥 = 1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
9089orcoms 403 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
91 elun 3715 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,]-1) ∨ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)))
9290, 91sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → 𝑥 ∈ ((-∞(,]-1) ∪ (1[,)+∞)))
9372, 92nsyl 134 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1))
94 sq1 12820 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
95 1cnd 9935 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 ∈ ℂ)
96 sqcl 12787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
9866, 96, 68sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
9998adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
100 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0)
10199, 100sqr00d 14028 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (1 − (𝑥↑2)) = 0)
10295, 97, 101subeq0d 10279 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → 1 = (𝑥↑2))
10394, 102syl5req 2657 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0) → (𝑥↑2) = (1↑2))
104103ex 449 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥↑2) = (1↑2)))
105 sqeqor 12840 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
10666, 105mpan2 703 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) = (1↑2) ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
107104, 106sylibd 228 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝑥↑2))) = 0 → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1)))
108107necon3bd 2796 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → (¬ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = -1) → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0))
10950, 93, 108sylc 63 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) ≠ 0)
11065, 70, 109divnegd 10693 . . . 4 (𝑥𝐷 → -(1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
11164, 110syl5eqr 2658 . . 3 (𝑥𝐷 → (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
112111mpteq2ia 4668 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (0 − (1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
1139, 63, 1123eqtri 2636 1 (ℂ D (arccos ↾ 𝐷)) = (𝑥𝐷 ↦ (-1 / (√‘(1 − (𝑥↑2)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  (,)cioo 12046  (,]cioc 12047  [,)cico 12048  ↑cexp 12722  √csqrt 13821  πcpi 14636   ↾t crest 15904  TopOpenctopn 15905  topGenctg 15921  ℂfldccnfld 19567  TopOnctopon 20518  Clsdccld 20630   D cdv 23433  arcsincasin 24389  arccoscacos 24390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-asin 24392  df-acos 24393 This theorem is referenced by:  dvreacos  32669
 Copyright terms: Public domain W3C validator