Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvacos Structured version   Unicode version

Theorem dvacos 28619
Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvacos  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem dvacos
StepHypRef Expression
1 df-acos 22377 . . . . 5  |- arccos  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
21reseq1i 5204 . . . 4  |-  (arccos  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2 )  -  (arcsin `  x
) ) )  |`  D )
3 dvasin.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
4 difss 3581 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  C_  CC
53, 4eqsstri 3484 . . . . 5  |-  D  C_  CC
6 resmpt 5254 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
82, 7eqtri 2480 . . 3  |-  (arccos  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) )
98oveq2i 6201 . 2  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )
10 cnelprrecn 9476 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
12 halfpire 22042 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1312recni 9499 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
15 c0ex 9481 . . . . 5  |-  0  e.  _V
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  0  e.  _V )
1713a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
1815a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  _V )
1913a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( pi  /  2
)  e.  CC )
2011, 19dvmptc 21548 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( pi  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
215a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  D  C_  CC )
22 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322cnfldtopon 20478 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2423toponunii 18653 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2524restid 14474 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
2623, 25ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2726eqcomi 2464 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
2822recld2 20507 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
29 neg1rr 10527 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
30 iocmnfcld 20464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
3222tgioo2 20496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3332fveq2i 5792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
3431, 33eleqtri 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
35 restcldr 18894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( -oo (,] -u 1 )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
3628, 34, 35mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
37 1re 9486 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
38 icopnfcld 20463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4039, 33eleqtri 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
41 restcldr 18894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
4228, 40, 41mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
43 uncld 18761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )  -> 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
)  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
4436, 42, 43mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
4524cldopn 18751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
473, 46eqeltri 2535 . . . . . 6  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  D  e.  ( TopOpen
` fld
) )
4911, 17, 18, 20, 21, 27, 22, 48dvmptres 21553 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( pi  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  0 ) )
505sseli 3450 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
51 asincl 22384 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
5352adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
54 ovex 6215 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
563dvasin 28618 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
57 asinf 22383 . . . . . . . 8  |- arcsin : CC --> CC
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
-> arcsin : CC --> CC )
5958, 21feqresmpt 5844 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (arcsin  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  (arcsin `  x )
) )
6059oveq2d 6206 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (arcsin `  x ) ) ) )
6156, 60syl5reqr 2507 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (arcsin `  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
6211, 14, 16, 49, 53, 55, 61dvmptsub 21557 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6362trud 1379 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
64 df-neg 9699 . . . 4  |-  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 0  -  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
65 1cnd 9503 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  1  e.  CC )
66 ax-1cn 9441 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
6750sqcld 12107 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
68 subcl 9710 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
6966, 67, 68sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
7069sqrcld 13025 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
71 eldifn 3577 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
7271, 3eleq2s 2559 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
73 mnfxr 11195 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
7429rexri 9537 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR*
75 mnflt 11205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  e.  RR  -> -oo 
<  -u 1 )
7629, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  <  -u 1
77 ubioc1 11450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -u 1  e.  RR*  /\ -oo  <  -u 1 )  ->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
7873, 74, 76, 77mp3an 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
)
79 eleq1 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
x  e.  ( -oo (,] -u 1 )  <->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) ) )
8078, 79mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
8137rexri 9537 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR*
82 pnfxr 11193 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
83 ltpnf 11203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
8437, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  < +oo
85 lbico1 11451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  1  < +oo )  ->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) )
8681, 82, 84, 85mp3an 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 1 [,) +oo )
87 eleq1 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
8886, 87mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
8980, 88orim12i 516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
9089orcoms 389 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
91 elun 3595 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
9290, 91sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )
9372, 92nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
94 sq1 12061 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
95 1cnd 9503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
96 sqcl 12029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  CC )
9866, 96, 68sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  CC )
100 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
10199, 100sqr00d 13029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  =  0 )
10295, 97, 101subeq0d 9828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  ( x ^ 2 ) )
10394, 102syl5req 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
104103ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
105 sqeqor 12081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
10666, 105mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
107104, 106sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
108107necon3bd 2660 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
10950, 93, 108sylc 60 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
11065, 70, 109divnegd 10221 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
11164, 110syl5eqr 2506 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  (
0  -  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
112111mpteq2ia 4472 . 2  |-  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
1139, 63, 1123eqtri 2484 1  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3068    \ cdif 3423    u. cun 3424    C_ wss 3426   {cpr 3977   class class class wbr 4390    |-> cmpt 4448   ran crn 4939    |` cres 4940   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   +oocpnf 9516   -oocmnf 9517   RR*cxr 9518    < clt 9519    - cmin 9696   -ucneg 9697    / cdiv 10094   2c2 10472   (,)cioo 11401   (,]cioc 11402   [,)cico 11403   ^cexp 11966   sqrcsqr 12824   picpi 13454   ↾t crest 14461   TopOpenctopn 14462   topGenctg 14478  ℂfldccnfld 17927  TopOnctopon 18615   Clsdccld 18736    _D cdv 21454  arcsincasin 22373  arccoscacos 22374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-tan 13459  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-limc 21457  df-dv 21458  df-log 22124  df-cxp 22125  df-asin 22376  df-acos 22377
This theorem is referenced by:  dvreacos  28621
  Copyright terms: Public domain W3C validator