Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvacos Structured version   Unicode version

Theorem dvacos 28406
Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvacos  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem dvacos
StepHypRef Expression
1 df-acos 22220 . . . . 5  |- arccos  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
21reseq1i 5102 . . . 4  |-  (arccos  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2 )  -  (arcsin `  x
) ) )  |`  D )
3 dvasin.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
4 difss 3480 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  C_  CC
53, 4eqsstri 3383 . . . . 5  |-  D  C_  CC
6 resmpt 5153 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
82, 7eqtri 2461 . . 3  |-  (arccos  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) )
98oveq2i 6101 . 2  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )
10 cnelprrecn 9371 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
12 halfpire 21885 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1312recni 9394 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
15 c0ex 9376 . . . . 5  |-  0  e.  _V
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  0  e.  _V )
1713a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
1815a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  _V )
1913a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( pi  /  2
)  e.  CC )
2011, 19dvmptc 21391 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( pi  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
215a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  D  C_  CC )
22 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322cnfldtopon 20321 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2423toponunii 18496 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2524restid 14368 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
2623, 25ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2726eqcomi 2445 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
2822recld2 20350 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
29 neg1rr 10422 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
30 iocmnfcld 20307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
3222tgioo2 20339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3332fveq2i 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
3431, 33eleqtri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
35 restcldr 18737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( -oo (,] -u 1 )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
3628, 34, 35mp2an 667 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
37 1re 9381 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
38 icopnfcld 20306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4039, 33eleqtri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
41 restcldr 18737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
4228, 40, 41mp2an 667 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
43 uncld 18604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )  -> 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
)  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
4436, 42, 43mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
4524cldopn 18594 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
473, 46eqeltri 2511 . . . . . 6  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  D  e.  ( TopOpen
` fld
) )
4911, 17, 18, 20, 21, 27, 22, 48dvmptres 21396 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( pi  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  0 ) )
505sseli 3349 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
51 asincl 22227 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
5250, 51syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
5352adantl 463 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
54 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
563dvasin 28405 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
57 asinf 22226 . . . . . . . 8  |- arcsin : CC --> CC
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
-> arcsin : CC --> CC )
5958, 21feqresmpt 5742 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (arcsin  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  (arcsin `  x )
) )
6059oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (arcsin `  x ) ) ) )
6156, 60syl5reqr 2488 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (arcsin `  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
6211, 14, 16, 49, 53, 55, 61dvmptsub 21400 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6362trud 1373 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
64 df-neg 9594 . . . 4  |-  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 0  -  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
65 1cnd 9398 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  1  e.  CC )
66 ax-1cn 9336 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
6750sqcld 12002 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
68 subcl 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
6966, 67, 68sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
7069sqrcld 12919 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
71 eldifn 3476 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
7271, 3eleq2s 2533 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
73 mnfxr 11090 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
7429rexri 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR*
75 mnflt 11100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  e.  RR  -> -oo 
<  -u 1 )
7629, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  <  -u 1
77 ubioc1 11345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -u 1  e.  RR*  /\ -oo  <  -u 1 )  ->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
7873, 74, 76, 77mp3an 1309 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
)
79 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
x  e.  ( -oo (,] -u 1 )  <->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) ) )
8078, 79mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
8137rexri 9432 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR*
82 pnfxr 11088 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
83 ltpnf 11098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
8437, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  < +oo
85 lbico1 11346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  1  < +oo )  ->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) )
8681, 82, 84, 85mp3an 1309 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 1 [,) +oo )
87 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
8886, 87mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
8980, 88orim12i 513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
9089orcoms 389 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
91 elun 3494 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
9290, 91sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )
9372, 92nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
94 sq1 11956 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
95 1cnd 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
96 sqcl 11924 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
9796adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  CC )
9866, 96, 68sylancr 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
9998adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  CC )
100 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
10199, 100sqr00d 12923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  =  0 )
10295, 97, 101subeq0d 9723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  ( x ^ 2 ) )
10394, 102syl5req 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
104103ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
105 sqeqor 11976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
10666, 105mpan2 666 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
107104, 106sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
108107necon3bd 2643 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
10950, 93, 108sylc 60 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
11065, 70, 109divnegd 10116 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
11164, 110syl5eqr 2487 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  (
0  -  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
112111mpteq2ia 4371 . 2  |-  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
1139, 63, 1123eqtri 2465 1  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364   T. wtru 1365    e. wcel 1761    =/= wne 2604   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    C_ wss 3325   {cpr 3876   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ran crn 4837    |` cres 4838   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   +oocpnf 9411   -oocmnf 9412   RR*cxr 9413    < clt 9414    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   2c2 10367   (,)cioo 11296   (,]cioc 11297   [,)cico 11298   ^cexp 11861   sqrcsqr 12718   picpi 13348   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356   topGenctg 14372  ℂfldccnfld 17777  TopOnctopon 18458   Clsdccld 18579    _D cdv 21297  arcsincasin 22216  arccoscacos 22217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-tan 13353  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-cxp 21968  df-asin 22219  df-acos 22220
This theorem is referenced by:  dvreacos  28408
  Copyright terms: Public domain W3C validator