Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvacos Structured version   Unicode version

Theorem dvacos 31455
Description: Derivative of arccosine. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvasin.d  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
Assertion
Ref Expression
dvacos  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem dvacos
StepHypRef Expression
1 df-acos 23520 . . . . 5  |- arccos  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
21reseq1i 5089 . . . 4  |-  (arccos  |`  D )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2 )  -  (arcsin `  x
) ) )  |`  D )
3 dvasin.d . . . . . 6  |-  D  =  ( CC  \  (
( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
4 difss 3569 . . . . . 6  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  C_  CC
53, 4eqsstri 3471 . . . . 5  |-  D  C_  CC
6 resmpt 5142 . . . . 5  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) )
82, 7eqtri 2431 . . 3  |-  (arccos  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) )
98oveq2i 6288 . 2  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )
10 cnelprrecn 9614 . . . . 5  |-  CC  e.  { RR ,  CC }
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  CC  e.  { RR ,  CC } )
12 halfpire 23147 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
1312recni 9637 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
15 c0ex 9619 . . . . 5  |-  0  e.  _V
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  0  e.  _V )
1713a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
1815a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  CC )  ->  0  e.  _V )
1913a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( pi  /  2
)  e.  CC )
2011, 19dvmptc 22651 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  CC  |->  ( pi  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  0 ) )
215a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  D  C_  CC )
22 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322cnfldtopon 21580 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2423toponunii 19723 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
2524restid 15046 . . . . . . 7  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
2623, 25ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
2726eqcomi 2415 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
2822recld2 21609 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )
29 neg1rr 10680 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR
30 iocmnfcld 21566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  RR  ->  ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
) )
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
3222tgioo2 21598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3332fveq2i 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Clsd `  ( topGen `  ran  (,) )
)  =  ( Clsd `  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
3431, 33eleqtri 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
35 restcldr 19966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( -oo (,] -u 1 )  e.  (
Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
3628, 34, 35mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( -oo (,] -u 1 )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
37 1re 9624 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
38 icopnfcld 21565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 ran  (,) )
)
4039, 33eleqtri 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) )
41 restcldr 19966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( RR  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) )  ->  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
4228, 40, 41mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
43 uncld 19832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  (
1 [,) +oo )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) )  -> 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
)  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
4436, 42, 43mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )
4524cldopn 19822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -oo (,] -u 1
)  u.  ( 1 [,) +oo ) )  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) )  ->  ( CC  \  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld ) )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( CC 
\  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )  e.  ( TopOpen ` fld )
473, 46eqeltri 2486 . . . . . 6  |-  D  e.  ( TopOpen ` fld )
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  D  e.  ( TopOpen
` fld
) )
4911, 17, 18, 20, 21, 27, 22, 48dvmptres 22656 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( pi  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  0 ) )
505sseli 3437 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
51 asincl 23527 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
5250, 51syl 17 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
5352adantl 464 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (arcsin `  x )  e.  CC )
54 ovex 6305 . . . . 5  |-  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) )  e.  _V
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  e. 
_V )
563dvasin 31454 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
57 asinf 23526 . . . . . . . 8  |- arcsin : CC --> CC
5857a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
-> arcsin : CC --> CC )
5958, 21feqresmpt 5902 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  (arcsin  |`  D )  =  ( x  e.  D  |->  (arcsin `  x )
) )
6059oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (arcsin  |`  D ) )  =  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (arcsin `  x ) ) ) )
6156, 60syl5reqr 2458 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  (arcsin `  x ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
6211, 14, 16, 49, 53, 55, 61dvmptsub 22660 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  (
x  e.  D  |->  ( ( pi  /  2
)  -  (arcsin `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6362trud 1414 . 2  |-  ( CC 
_D  ( x  e.  D  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  (arcsin `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )
64 df-neg 9843 . . . 4  |-  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( 0  -  (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
65 1cnd 9641 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  1  e.  CC )
66 ax-1cn 9579 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
6750sqcld 12350 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
68 subcl 9854 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( x ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
6966, 67, 68sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
7069sqrtcld 13415 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  e.  CC )
71 eldifn 3565 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( CC  \ 
( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
7271, 3eleq2s 2510 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  ->  -.  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) ) )
73 mnfxr 11375 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  e.  RR*
7429rexri 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  RR*
75 mnflt 11385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u
1  e.  RR  -> -oo 
<  -u 1 )
7629, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |- -oo  <  -u 1
77 ubioc1 11630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  -u 1  e.  RR*  /\ -oo  <  -u 1 )  ->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
7873, 74, 76, 77mp3an 1326 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
)
79 eleq1 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u 1  ->  (
x  e.  ( -oo (,] -u 1 )  <->  -u 1  e.  ( -oo (,] -u 1
) ) )
8078, 79mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u 1  ->  x  e.  ( -oo (,] -u 1
) )
8137rexri 9675 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR*
82 pnfxr 11373 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
83 ltpnf 11383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  < +oo )
8437, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  < +oo
85 lbico1 11631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR*  /\  1  < +oo )  ->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) )
8681, 82, 84, 85mp3an 1326 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 1 [,) +oo )
87 eleq1 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
x  e.  ( 1 [,) +oo )  <->  1  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
8886, 87mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  x  e.  ( 1 [,) +oo ) )
8980, 88orim12i 514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  -u 1  \/  x  =  1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
9089orcoms 387 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
91 elun 3583 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  ( 1 [,) +oo ) )  <->  ( x  e.  ( -oo (,] -u 1
)  \/  x  e.  ( 1 [,) +oo ) ) )
9290, 91sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
)  ->  x  e.  ( ( -oo (,] -u 1 )  u.  (
1 [,) +oo )
) )
9372, 92nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1
) )
94 sq1 12305 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
95 1cnd 9641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  e.  CC )
96 sqcl 12273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ^ 2 )  e.  CC )
9796adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  e.  CC )
9866, 96, 68sylancr 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  -  ( x ^ 2 ) )  e.  CC )
9998adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  e.  CC )
100 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0 )
10199, 100sqr00d 13419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( 1  -  (
x ^ 2 ) )  =  0 )
10295, 97, 101subeq0d 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
1  =  ( x ^ 2 ) )
10394, 102syl5req 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^
2 ) ) )  =  0 )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
104103ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
105 sqeqor 12324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( x ^
2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <-> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
10666, 105mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( x  =  1  \/  x  =  -u 1 ) ) )
107104, 106sylibd 214 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =  0  -> 
( x  =  1  \/  x  =  -u
1 ) ) )
108107necon3bd 2615 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( -.  ( x  =  1  \/  x  =  -u
1 )  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 ) )
10950, 93, 108sylc 59 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  ( sqr `  ( 1  -  ( x ^ 2 ) ) )  =/=  0 )
11065, 70, 109divnegd 10373 . . . 4  |-  ( x  e.  D  ->  -u (
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
11164, 110syl5eqr 2457 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  (
0  -  ( 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( -u 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
112111mpteq2ia 4476 . 2  |-  ( x  e.  D  |->  ( 0  -  ( 1  / 
( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u 1  /  ( sqr `  (
1  -  ( x ^ 2 ) ) ) ) )
1139, 63, 1123eqtri 2435 1  |-  ( CC 
_D  (arccos  |`  D ) )  =  ( x  e.  D  |->  ( -u
1  /  ( sqr `  ( 1  -  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    u. cun 3411    C_ wss 3413   {cpr 3973   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ran crn 4823    |` cres 4824   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522   +oocpnf 9654   -oocmnf 9655   RR*cxr 9656    < clt 9657    - cmin 9840   -ucneg 9841    / cdiv 10246   2c2 10625   (,)cioo 11581   (,]cioc 11582   [,)cico 11583   ^cexp 12208   sqrcsqrt 13213   picpi 14009   ↾t crest 15033   TopOpenctopn 15034   topGenctg 15050  ℂfldccnfld 18738  TopOnctopon 19685   Clsdccld 19807    _D cdv 22557  arcsincasin 23516  arccoscacos 23517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012  df-cos 14013  df-tan 14014  df-pi 14015  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-rest 15035  df-topn 15036  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-topgen 15056  df-pt 15057  df-prds 15060  df-xrs 15114  df-qtop 15119  df-imas 15120  df-xps 15122  df-mre 15198  df-mrc 15199  df-acs 15201  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-submnd 16289  df-mulg 16382  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-fbas 18734  df-fg 18735  df-cnfld 18739  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-topsp 19693  df-cld 19810  df-ntr 19811  df-cls 19812  df-nei 19890  df-lp 19928  df-perf 19929  df-cn 20019  df-cnp 20020  df-haus 20107  df-cmp 20178  df-tx 20353  df-hmeo 20546  df-fil 20637  df-fm 20729  df-flim 20730  df-flf 20731  df-xms 21113  df-ms 21114  df-tms 21115  df-cncf 21672  df-limc 22560  df-dv 22561  df-log 23234  df-cxp 23235  df-asin 23519  df-acos 23520
This theorem is referenced by:  dvreacos  31457
  Copyright terms: Public domain W3C validator