Theorem zlmodzxzequap 42082

Description: Example of an equation within the ℤ-module ℤ × ℤ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a	⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b	⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzequap.o	⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequap.m	⊢ + = (+g‘𝑍)
zlmodzxzequap.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzequap	⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = 0

Proof of Theorem zlmodzxzequap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 10972	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 10968	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulneg1i 10355	. . . . . 6 ⊢ (-3 · 2) = -(3 · 2)
4	3	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + (-3 · 2)) = ((2 · 3) + -(3 · 2))
5	2, 1	mulcli 9924	. . . . . 6 ⊢ (2 · 3) ∈ ℂ
6	1, 2	mulcli 9924	. . . . . 6 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
7		negsub 10208	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = ((2 · 3) − (3 · 2)))
8	1, 2	mulcomi 9925	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 2) = (2 · 3)
9	8	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = ((2 · 3) − (2 · 3))
10	5	subidi 10231	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) − (2 · 3)) = 0
11	9, 10	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) − (3 · 2)) = 0
12	7, 11	syl6eq 2660	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 3) ∈ ℂ ∧ (3 · 2) ∈ ℂ) → ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0)
13	5, 6, 12	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ ((2 · 3) + -(3 · 2)) = 0
14	4, 13	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((2 · 3) + (-3 · 2)) = 0
15	14	opeq2i 4344	. . 3 ⊢ ⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩ = ⟨0, 0⟩
16		4cn 10975	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
17	1, 16	mulneg1i 10355	. . . . . 6 ⊢ (-3 · 4) = -(3 · 4)
18	17	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + (-3 · 4)) = ((2 · 6) + -(3 · 4))
19		6cn 10979	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
20	2, 19	mulcli 9924	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 6) ∈ ℂ
21	1, 16	mulcli 9924	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 4) ∈ ℂ
22	20, 21	negsubi 10238	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = ((2 · 6) − (3 · 4))
23		2t6m3t4e0 41919	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 6) − (3 · 4)) = 0
24	22, 23	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((2 · 6) + -(3 · 4)) = 0
25	18, 24	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ ((2 · 6) + (-3 · 4)) = 0
26	25	opeq2i 4344	. . 3 ⊢ ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩ = ⟨1, 0⟩
27	15, 26	preq12i 4217	. 2 ⊢ {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
28		zlmodzxzldep.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
29	28	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
30		2z 11286	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
31		3z 11287	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
32		6nn 11066	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℕ
33	32	nnzi 11278	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℤ
34		zlmodzxzldep.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
35		zlmodzxzequap.t	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑍)
36	34, 35	zlmodzxzscm 41928	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩})
37	30, 31, 33, 36	mp3an 1416	. . . . 5 ⊢ (2 ∙ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
38	29, 37	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (2 ∙ 𝐴) = {⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩}
39		zlmodzxzldep.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
40	39	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (-3 ∙ 𝐵) = (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
41		znegcl 11289	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℤ → -3 ∈ ℤ)
42	31, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ -3 ∈ ℤ
43		4z 11288	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
44	34, 35	zlmodzxzscm 41928	. . . . . 6 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
45	42, 30, 43, 44	mp3an 1416	. . . . 5 ⊢ (-3 ∙ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
46	40, 45	eqtri 2632	. . . 4 ⊢ (-3 ∙ 𝐵) = {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}
47	38, 46	oveq12i 6561	. . 3 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩})
48		zmulcl 11303	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 · 3) ∈ ℤ)
49	30, 31, 48	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2 · 3) ∈ ℤ
50		zmulcl 11303	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (-3 · 2) ∈ ℤ)
51	42, 30, 50	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (-3 · 2) ∈ ℤ
52		zmulcl 11303	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (2 · 6) ∈ ℤ)
53	30, 33, 52	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (2 · 6) ∈ ℤ
54		zmulcl 11303	. . . . 5 ⊢ ((-3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (-3 · 4) ∈ ℤ)
55	42, 43, 54	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (-3 · 4) ∈ ℤ
56		zlmodzxzequap.m	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑍)
57	34, 56	zlmodzxzadd 41929	. . . 4 ⊢ ((((2 · 3) ∈ ℤ ∧ (-3 · 2) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 6) ∈ ℤ ∧ (-3 · 4) ∈ ℤ)) → ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩})
58	49, 51, 53, 55, 57	mp4an 705	. . 3 ⊢ ({⟨0, (2 · 3)⟩, ⟨1, (2 · 6)⟩} + {⟨0, (-3 · 2)⟩, ⟨1, (-3 · 4)⟩}) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
59	47, 58	eqtri 2632	. 2 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = {⟨0, ((2 · 3) + (-3 · 2))⟩, ⟨1, ((2 · 6) + (-3 · 4))⟩}
60		zlmodzxzequap.o	. 2 ⊢ 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
61	27, 59, 60	3eqtr4i 2642	1 ⊢ ((2 ∙ 𝐴) + (-3 ∙ 𝐵)) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  6c6 10951  ℤcz 11254  +_gcplusg 15768   ·_𝑠 cvsca 15772  ℤ_ringzring 19637   freeLMod cfrlm 19909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-dsmm 19895  df-frlm 19910

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  42085