Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zlmodzxzldeplem1 42083
 Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 42087. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzldep.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzldep.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
zlmodzxzldeplem.f 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem1 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1
StepHypRef Expression
1 zex 11263 . 2 ℤ ∈ V
2 prex 4836 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ V
3 zlmodzxzldep.a . . . . . . . 8 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4 prex 4836 . . . . . . . 8 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ∈ V
53, 4eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
6 zlmodzxzldep.b . . . . . . . 8 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
7 prex 4836 . . . . . . . 8 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ∈ V
86, 7eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
95, 8pm3.2i 470 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
109a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
11 2z 11286 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
12 3nn0 11187 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
1312nn0negzi 11293 . . . . . . 7 -3 ∈ ℤ
1411, 13pm3.2i 470 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ)
1514a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ))
16 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
1716, 3, 6zlmodzxzldeplem 42081 . . . . . 6 𝐴𝐵
1817a1i 11 . . . . 5 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐴𝐵)
19 fprg 6327 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
20 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . 7 𝐹 = {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}
2120feq1i 5949 . . . . . 6 (𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ↔ {⟨𝐴, 2⟩, ⟨𝐵, -3⟩}:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
2219, 21sylibr 223 . . . . 5 (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
2310, 15, 18, 22syl3anc 1318 . . . 4 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3})
24 prssi 4293 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ -3 ∈ ℤ) → {2, -3} ⊆ ℤ)
2511, 13, 24mp2an 704 . . . 4 {2, -3} ⊆ ℤ
26 fss 5969 . . . 4 ((𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶{2, -3} ∧ {2, -3} ⊆ ℤ) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
2723, 25, 26sylancl 693 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ)
28 elmapg 7757 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → (𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}) ↔ 𝐹:{𝐴, 𝐵}⟶ℤ))
2927, 28mpbird 246 . 2 ((ℤ ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵}))
301, 2, 29mp2an 704 1 𝐹 ∈ (ℤ ↑𝑚 {𝐴, 𝐵})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  ⟨cop 4131  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  0cc0 9815  1c1 9816  -cneg 10146  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  6c6 10951  ℤcz 11254  ℤringzring 19637   freeLMod cfrlm 19909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255 This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  42084  zlmodzxzldeplem3  42085  zlmodzxzldep  42087
 Copyright terms: Public domain W3C validator