Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequap Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzequap 32582
Description: Example of an equation within the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ (see example for a linearly dependent set in [Roman] p. 113), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzequap.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequap.m  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
zlmodzxzequap.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequap  |-  ( ( 2  .xb  A )  .+  ( -u 3  .xb  B ) )  =  .0.

Proof of Theorem zlmodzxzequap
StepHypRef Expression
1 3cn 10622 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2 2cn 10618 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
31, 2mulneg1i 10014 . . . . . 6  |-  ( -u
3  x.  2 )  =  -u ( 3  x.  2 )
43oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  +  -u ( 3  x.  2 ) )
52, 1mulcli 9613 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  e.  CC
61, 2mulcli 9613 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  e.  CC
7 negsub 9879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  e.  CC  /\  ( 3  x.  2 )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  3 )  + 
-u ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  -  (
3  x.  2 ) ) )
81, 2mulcomi 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
98oveq2i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  -  (
2  x.  3 ) )
105subidi 9902 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 2  x.  3 ) )  =  0
119, 10eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  0
127, 11syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  e.  CC  /\  ( 3  x.  2 )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  3 )  + 
-u ( 3  x.  2 ) )  =  0 )
135, 6, 12mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  -u ( 3  x.  2 ) )  =  0
144, 13eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) )  =  0
1514opeq2i 4223 . . 3  |-  <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) ) >.  =  <. 0 ,  0
>.
16 4cn 10625 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
171, 16mulneg1i 10014 . . . . . 6  |-  ( -u
3  x.  4 )  =  -u ( 3  x.  4 )
1817oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u 3  x.  4 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  -u ( 3  x.  4 ) )
19 6cn 10629 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
202, 19mulcli 9613 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  6 )  e.  CC
211, 16mulcli 9613 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  4 )  e.  CC
2220, 21negsubi 9909 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  -u ( 3  x.  4 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  -  (
3  x.  4 ) )
23 2t6m3t4e0 32416 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )  =  0
2422, 23eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  -u ( 3  x.  4 ) )  =  0
2518, 24eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u 3  x.  4 ) )  =  0
2625opeq2i 4223 . . 3  |-  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u 3  x.  4 ) ) >.  =  <. 1 ,  0
>.
2715, 26preq12i 4117 . 2  |-  { <. 0 ,  ( (
2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u
3  x.  4 ) ) >. }  =  { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0
>. }
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
2928oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  A )  =  ( 2  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
30 2z 10908 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
31 3z 10909 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
32 6nn 10709 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
3332nnzi 10900 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
34 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
35 zlmodzxzequap.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
3634, 35zlmodzxzscm 32425 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
2  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 )
>. } )
3730, 31, 33, 36mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
3829, 37eqtri 2496 . . . 4  |-  ( 2 
.xb  A )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
39 zlmodzxzldep.b . . . . . 6  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
4039oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( -u
3  .xb  B )  =  ( -u 3  .xb  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
41 znegcl 10910 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  -u 3  e.  ZZ )
4231, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  -u 3  e.  ZZ
43 4nn 10707 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
4443nnzi 10900 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
4534, 35zlmodzxzscm 32425 . . . . . 6  |-  ( (
-u 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( -u 3  .xb  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  (
-u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. } )
4642, 30, 44, 45mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( -u
3  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( -u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. }
4740, 46eqtri 2496 . . . 4  |-  ( -u
3  .xb  B )  =  { <. 0 ,  (
-u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. }
4838, 47oveq12i 6307 . . 3  |-  ( ( 2  .xb  A )  .+  ( -u 3  .xb  B ) )  =  ( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .+  { <. 0 ,  ( -u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. } )
49 zmulcl 10923 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ )
5030, 31, 49mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ
51 zmulcl 10923 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( -u 3  x.  2 )  e.  ZZ )
5242, 30, 51mp2an 672 . . . 4  |-  ( -u
3  x.  2 )  e.  ZZ
53 zmulcl 10923 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ )
5430, 33, 53mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ
55 zmulcl 10923 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( -u 3  x.  4 )  e.  ZZ )
5642, 44, 55mp2an 672 . . . 4  |-  ( -u
3  x.  4 )  e.  ZZ
57 zlmodzxzequap.m . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
5834, 57zlmodzxzadd 32426 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( -u 3  x.  2 )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  6 )  e.  ZZ  /\  ( -u
3  x.  4 )  e.  ZZ ) )  ->  ( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 )
>. }  .+  { <. 0 ,  ( -u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u
3  x.  4 ) ) >. } )
5950, 52, 54, 56, 58mp4an 673 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .+  { <. 0 ,  ( -u
3  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u
3  x.  4 ) ) >. }
6048, 59eqtri 2496 . 2  |-  ( ( 2  .xb  A )  .+  ( -u 3  .xb  B ) )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u
3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u 3  x.  4 ) ) >. }
61 zlmodzxzequap.o . 2  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
6227, 60, 613eqtr4i 2506 1  |-  ( ( 2  .xb  A )  .+  ( -u 3  .xb  B ) )  =  .0.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cpr 4035   <.cop 4039   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   -ucneg 9818   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   6c6 10601   ZZcz 10876   +g cplusg 14572   .scvsca 14576  ℤringzring 18358   freeLMod cfrlm 18646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-dsmm 18632  df-frlm 18647
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  32585
  Copyright terms: Public domain W3C validator