Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequap Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzequap 30930
Description: Example of an equation within the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ (see example for a linearly dependent set in [Roman] p. 113), written as a sum. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzequap.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequap.m  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
zlmodzxzequap.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequap  |-  ( ( 2  .xb  A )  .+  ( -u 3  .xb  B ) )  =  .0.

Proof of Theorem zlmodzxzequap
StepHypRef Expression
1 3cn 10388 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
2 2cn 10384 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
31, 2mulneg1i 9782 . . . . . 6  |-  ( -u
3  x.  2 )  =  -u ( 3  x.  2 )
43oveq2i 6097 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  +  -u ( 3  x.  2 ) )
52, 1mulcli 9383 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  e.  CC
61, 2mulcli 9383 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  e.  CC
7 negsub 9649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  e.  CC  /\  ( 3  x.  2 )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  3 )  + 
-u ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  -  (
3  x.  2 ) ) )
81, 2mulcomi 9384 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  x.  2 )  =  ( 2  x.  3 )
98oveq2i 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  3 )  -  (
2  x.  3 ) )
105subidi 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 2  x.  3 ) )  =  0
119, 10eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  0
127, 11syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  3 )  e.  CC  /\  ( 3  x.  2 )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  3 )  + 
-u ( 3  x.  2 ) )  =  0 )
135, 6, 12mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  -u ( 3  x.  2 ) )  =  0
144, 13eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) )  =  0
1514opeq2i 4058 . . 3  |-  <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) ) >.  =  <. 0 ,  0
>.
16 4cn 10391 . . . . . . 7  |-  4  e.  CC
171, 16mulneg1i 9782 . . . . . 6  |-  ( -u
3  x.  4 )  =  -u ( 3  x.  4 )
1817oveq2i 6097 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u 3  x.  4 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  +  -u ( 3  x.  4 ) )
19 6cn 10395 . . . . . . . 8  |-  6  e.  CC
202, 19mulcli 9383 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  6 )  e.  CC
211, 16mulcli 9383 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  4 )  e.  CC
2220, 21negsubi 9678 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  -u ( 3  x.  4 ) )  =  ( ( 2  x.  6 )  -  (
3  x.  4 ) )
23 2t6m3t4e0 30692 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )  =  0
2422, 23eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  -u ( 3  x.  4 ) )  =  0
2518, 24eqtri 2458 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u 3  x.  4 ) )  =  0
2625opeq2i 4058 . . 3  |-  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u 3  x.  4 ) ) >.  =  <. 1 ,  0
>.
2715, 26preq12i 3954 . 2  |-  { <. 0 ,  ( (
2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u
3  x.  4 ) ) >. }  =  { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0
>. }
28 zlmodzxzldep.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
2928oveq2i 6097 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  A )  =  ( 2  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
30 2z 10670 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
31 3z 10671 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
32 6nn 10475 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
3332nnzi 10662 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
34 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
35 zlmodzxzequap.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
3634, 35zlmodzxzscm 30705 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
2  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 )
>. } )
3730, 31, 33, 36mp3an 1314 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
3829, 37eqtri 2458 . . . 4  |-  ( 2 
.xb  A )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
39 zlmodzxzldep.b . . . . . 6  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
4039oveq2i 6097 . . . . 5  |-  ( -u
3  .xb  B )  =  ( -u 3  .xb  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
41 znegcl 10672 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  -u 3  e.  ZZ )
4231, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  -u 3  e.  ZZ
43 4nn 10473 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
4443nnzi 10662 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
4534, 35zlmodzxzscm 30705 . . . . . 6  |-  ( (
-u 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( -u 3  .xb  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  (
-u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. } )
4642, 30, 44, 45mp3an 1314 . . . . 5  |-  ( -u
3  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( -u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. }
4740, 46eqtri 2458 . . . 4  |-  ( -u
3  .xb  B )  =  { <. 0 ,  (
-u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. }
4838, 47oveq12i 6098 . . 3  |-  ( ( 2  .xb  A )  .+  ( -u 3  .xb  B ) )  =  ( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .+  { <. 0 ,  ( -u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. } )
49 zmulcl 10685 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ )
5030, 31, 49mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ
51 zmulcl 10685 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( -u 3  x.  2 )  e.  ZZ )
5242, 30, 51mp2an 672 . . . 4  |-  ( -u
3  x.  2 )  e.  ZZ
53 zmulcl 10685 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ )
5430, 33, 53mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ
55 zmulcl 10685 . . . . 5  |-  ( (
-u 3  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( -u 3  x.  4 )  e.  ZZ )
5642, 44, 55mp2an 672 . . . 4  |-  ( -u
3  x.  4 )  e.  ZZ
57 zlmodzxzequap.m . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
5834, 57zlmodzxzadd 30706 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( -u 3  x.  2 )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  6 )  e.  ZZ  /\  ( -u
3  x.  4 )  e.  ZZ ) )  ->  ( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 )
>. }  .+  { <. 0 ,  ( -u 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u
3  x.  4 ) ) >. } )
5950, 52, 54, 56, 58mp4an 673 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .+  { <. 0 ,  ( -u
3  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( -u 3  x.  4 ) >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u
3  x.  4 ) ) >. }
6048, 59eqtri 2458 . 2  |-  ( ( 2  .xb  A )  .+  ( -u 3  .xb  B ) )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  +  ( -u
3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  +  ( -u 3  x.  4 ) ) >. }
61 zlmodzxzequap.o . 2  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
6227, 60, 613eqtr4i 2468 1  |-  ( ( 2  .xb  A )  .+  ( -u 3  .xb  B ) )  =  .0.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cpr 3874   <.cop 3878   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   -ucneg 9588   2c2 10363   3c3 10364   4c4 10365   6c6 10367   ZZcz 10638   +g cplusg 14230   .scvsca 14234  ℤringzring 17858   freeLMod cfrlm 18146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-0g 14372  df-prds 14378  df-pws 14380  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-subg 15669  df-cmn 16270  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-subrg 16841  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-cnfld 17794  df-zring 17859  df-dsmm 18132  df-frlm 18147
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  30933
  Copyright terms: Public domain W3C validator