Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopeq0i 28250
 Description: A condition implying that a linear Hilbert space operator is identically zero. Unlike ho01i 28071 for arbitrary operators, when the operator is linear we need to consider only the values of the quadratic form (𝑇‘𝑥) ·ih 𝑥). (Contributed by NM, 26-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopeq0.1 𝑇 ∈ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopeq0i (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
Distinct variable group:   𝑥,𝑇

Proof of Theorem lnopeq0i
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopeq0.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ LinOp
21lnopeq0lem2 28249 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4))
32adantl 481 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4))
4 hvaddcl 27253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
5 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 + 𝑧)))
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
75, 6oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)))
87eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0))
98rspccva 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0)
104, 9sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) = 0)
11 hvsubcl 27258 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 𝑧) ∈ ℋ)
12 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 𝑧)))
13 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → 𝑥 = (𝑦 𝑧))
1412, 13oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)))
1514eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦 𝑧) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0))
1615rspccva 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 𝑧) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0)
1711, 16sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧)) = 0)
1810, 17oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) = (0 − 0))
19 0m0e0 11007 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
2018, 19syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) = 0)
21 ax-icn 9874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ ℂ
22 hvmulcl 27254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (i · 𝑧) ∈ ℋ)
2321, 22mpan 702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℋ → (i · 𝑧) ∈ ℋ)
24 hvaddcl 27253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
2523, 24sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
26 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))))
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)))
2826, 27oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))))
2928eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + (i · 𝑧)) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0))
3029rspccva 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 + (i · 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0)
3125, 30sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) = 0)
32 hvsubcl 27258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (i · 𝑧) ∈ ℋ) → (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
3323, 32sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ)
34 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → 𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)))
3634, 35oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))
3736eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 (i · 𝑧)) → (((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0))
3837rspccva 3281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 (i · 𝑧)) ∈ ℋ) → ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0)
3933, 38sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))) = 0)
4031, 39oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))) = (0 − 0))
4140, 19syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))) = 0)
4241oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))) = (i · 0))
43 it0e0 11131 . . . . . . . . . 10 (i · 0) = 0
4442, 43syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧))))) = 0)
4520, 44oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) = (0 + 0))
46 00id 10090 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
4745, 46syl6eq 2660 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) = 0)
4847oveq1d 6564 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4) = (0 / 4))
49 4cn 10975 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
50 4ne0 10994 . . . . . . 7 4 ≠ 0
5149, 50div0i 10638 . . . . . 6 (0 / 4) = 0
5248, 51syl6eq 2660 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → (((((𝑇‘(𝑦 + 𝑧)) ·ih (𝑦 + 𝑧)) − ((𝑇‘(𝑦 𝑧)) ·ih (𝑦 𝑧))) + (i · (((𝑇‘(𝑦 + (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 + (i · 𝑧))) − ((𝑇‘(𝑦 (i · 𝑧))) ·ih (𝑦 (i · 𝑧)))))) / 4) = 0)
533, 52eqtrd 2644 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ∧ (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ)) → ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
5453ralrimivva 2954 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → ∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0)
551lnopfi 28212 . . . 4 𝑇: ℋ⟶ ℋ
5655ho01i 28071 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℋ ∀𝑧 ∈ ℋ ((𝑇𝑦) ·ih 𝑧) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
5754, 56sylib 207 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 → 𝑇 = 0hop )
58 fveq1 6102 . . . . . 6 (𝑇 = 0hop → (𝑇𝑥) = ( 0hop𝑥))
59 ho0val 27993 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
6058, 59sylan9eq 2664 . . . . 5 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) = 0)
6160oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = (0 ·ih 𝑥))
62 hi01 27337 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ·ih 𝑥) = 0)
6362adantl 481 . . . 4 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (0 ·ih 𝑥) = 0)
6461, 63eqtrd 2644 . . 3 ((𝑇 = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
6564ralrimiva 2949 . 2 (𝑇 = 0hop → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0)
6657, 65impbii 198 1 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑇𝑥) ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  ici 9817   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  4c4 10949   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162   ·ih csp 27163  0ℎc0v 27165   −ℎ cmv 27166   0hop ch0o 27184  LinOpclo 27188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-pjh 27638  df-h0op 27991  df-lnop 28084 This theorem is referenced by:  lnopeqi  28251
 Copyright terms: Public domain W3C validator