Theorem iccgelb 12101

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iccgelb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem iccgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 12090	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2	1	biimpa 500	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
3	2	simp2d 1067	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
4	3	3impa 1251	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-xr 9957  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  supicc  12191  ttgcontlem1  25565  xrge0infss  28915  xrge0addgt0  29022  xrge0adddir  29023  esumcst  29452  esumpinfval  29462  oms0  29686  probmeasb  29819  broucube  32613  areaquad  36821  lefldiveq  38446  xadd0ge  38477  xrge0nemnfd  38489  eliccelioc  38594  iccintsng  38596  ge0nemnf2  38602  eliccnelico  38603  eliccelicod  38604  ge0xrre  38605  inficc  38608  iccdificc  38613  iccgelbd  38617  cncfiooiccre  38781  iblspltprt  38865  itgioocnicc  38869  itgspltprt  38871  itgiccshift  38872  fourierdlem1  39001  fourierdlem20  39020  fourierdlem24  39024  fourierdlem25  39025  fourierdlem27  39027  fourierdlem43  39043  fourierdlem44  39044  fourierdlem50  39049  fourierdlem51  39050  fourierdlem52  39051  fourierdlem64  39063  fourierdlem73  39072  fourierdlem76  39075  fourierdlem81  39080  fourierdlem92  39091  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  rrxsnicc  39196  salgencntex  39237  fge0iccico  39263  gsumge0cl  39264  sge0sn  39272  sge0tsms  39273  sge0cl  39274  sge0ge0  39277  sge0fsum  39280  sge0pr  39287  sge0prle  39294  sge0p1  39307  sge0rernmpt  39315  meage0  39368  omessre  39400  omeiunltfirp  39409  carageniuncllem2  39412  omege0  39423  ovnlerp  39452  ovn0lem  39455  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487