Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fge0iccico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fge0iccico 39263
Description: A range of nonnegative extended reals without plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fge0iccico.f (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
fge0iccico.re (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
fge0iccico (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))

Proof of Theorem fge0iccico
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fge0iccico.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
2 ffn 5958 . . . 4 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝐹 Fn 𝑋)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
4 0xr 9965 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ∈ ℝ*)
6 pnfxr 9971 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → +∞ ∈ ℝ*)
8 iccssxr 12127 . . . . . 6 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
91ffvelrnda 6267 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
108, 9sseldi 3566 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
11 iccgelb 12101 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
125, 7, 9, 11syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
1310adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
14 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ (𝐹𝑥) < +∞)
156a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ℝ*)
1615, 13xrlenltd 9983 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (+∞ ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < +∞))
1714, 16mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ≤ (𝐹𝑥))
1813, 17xrgepnfd 38488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) = +∞)
1918eqcomd 2616 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ = (𝐹𝑥))
20 ffun 5961 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → Fun 𝐹)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝐹)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → Fun 𝐹)
23 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
24 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = 𝑋)
2524eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞) → 𝑋 = dom 𝐹)
261, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 = dom 𝐹)
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 = dom 𝐹)
2823, 27eleqtrd 2690 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
29 fvelrn 6260 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3022, 28, 29syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3130adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → (𝐹𝑥) ∈ ran 𝐹)
3219, 31eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
33 fge0iccico.re . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3433ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
3532, 34condan 831 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) < +∞)
365, 7, 10, 12, 35elicod 12095 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
3736ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
383, 37jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
39 ffnfv 6295 . 2 (𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
4038, 39sylibr 223 1 (𝜑𝐹:𝑋⟶(0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  [,)cico 12048  [,]cicc 12049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052  df-icc 12053
This theorem is referenced by:  fge0iccre  39267  sge00  39269  sge0sn  39272  sge0tsms  39273  sge0cl  39274  sge0supre  39282  sge0sup  39284  sge0less  39285  sge0rnbnd  39286  sge0ltfirp  39293  sge0resplit  39299  sge0le  39300  sge0split  39302  sge0iunmptlemre  39308
  Copyright terms: Public domain W3C validator