MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccgelb Structured version   Unicode version

Theorem iccgelb 11691
Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
iccgelb  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  C )

Proof of Theorem iccgelb
StepHypRef Expression
1 elicc1 11680 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <->  ( C  e.  RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) ) )
21biimpa 486 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( C  e. 
RR*  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B
) )
32simp2d 1018 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  C
)
433impa 1200 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1870   class class class wbr 4426  (class class class)co 6305   RR*cxr 9673    <_ cle 9675   [,]cicc 11638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-xr 9678  df-icc 11642
This theorem is referenced by:  supicc  11778  ttgcontlem1  24761  xrge0infss  28181  xrge0addgt0  28292  xrge0adddir  28293  esumcst  28723  esumpinfval  28733  oms0  28958  probmeasb  29089  broucube  31677  areaquad  35799  lefldiveq  37114  xadd0ge  37150  xrge0nemnfd  37163  eliccelioc  37206  iccintsng  37208  ge0nemnf2  37214  eliccnelico  37215  eliccelicod  37216  ge0xrre  37217  cncfiooiccre  37344  iblspltprt  37418  itgioocnicc  37422  itgspltprt  37424  itgiccshift  37425  fourierdlem1  37538  fourierdlem20  37557  fourierdlem24  37561  fourierdlem25  37562  fourierdlem27  37564  fourierdlem43  37580  fourierdlem44  37581  fourierdlem50  37587  fourierdlem51  37588  fourierdlem52  37589  fourierdlem64  37601  fourierdlem73  37610  fourierdlem76  37613  fourierdlem81  37618  fourierdlem92  37629  fourierdlem102  37639  fourierdlem103  37640  fourierdlem104  37641  fourierdlem114  37651  fge0iccico  37745  gsumge0cl  37746  sge0sn  37754  sge0tsms  37755  sge0cl  37756  sge0ge0  37759  sge0fsum  37762  sge0pr  37769  sge0prle  37776  sge0p1  37789  omessre  37839  omeiunltfirp  37848  carageniuncllem2  37851
  Copyright terms: Public domain W3C validator