Theorem sge0sn 39272

Description: A sum of a nonnegative extended real is the term. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0sn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0sn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0sn	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem sge0sn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 4835	. . . . 5 ⊢ {𝐴} ∈ V
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
3		sge0sn.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
5		id 22	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → (𝐹‘𝐴) = +∞)
6	5	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝐴) = +∞ → +∞ = (𝐹‘𝐴))
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ = (𝐹‘𝐴))
8		ffun 5961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞) → Fun 𝐹)
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Fun 𝐹)
11		sge0sn.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
12		snidg 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴})
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴})
14		fdm 5964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞) → dom 𝐹 = {𝐴})
15	3, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = {𝐴})
16	15	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝐴} = dom 𝐹)
17	13, 16	eleqtrd 2690	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
19		fvelrn 6260	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
20	10, 18, 19	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ran 𝐹)
21	7, 20	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → +∞ ∈ ran 𝐹)
22	2, 4, 21	sge0pnfval 39266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = +∞)
23		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = +∞)
24	22, 23	eqtr4d 2647	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
25	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {𝐴} ∈ V)
26	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,]+∞))
27		elsni 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → +∞ = (𝐹‘𝐴))
28	27	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹‘𝐴) = +∞)
29	28	con3i 149	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐹‘𝐴) = +∞ → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ {(𝐹‘𝐴)})
31	11, 3	rnsnf 38365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
32	31	eqcomd 2616	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {(𝐹‘𝐴)} = ran 𝐹)
34	30, 33	neleqtrd 2709	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → ¬ +∞ ∈ ran 𝐹)
35	26, 34	fge0iccico 39263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐹:{𝐴}⟶(0[,)+∞))
36	25, 35	sge0reval 39265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
37		sum0 14299	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) = 0
38	37	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
40		nfcvd 2752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Ⅎ𝑦(𝐹‘𝐴))
41		nfv 1830	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞)
42		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
43	42	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
44	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ 𝑉)
45		rge0ssre 12151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
46		ax-resscn 9872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
47	45, 46	sstri 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
48	44, 12	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → 𝐴 ∈ {𝐴})
49	35, 48	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,)+∞))
50	47, 49	sseldi 3566	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
51	40, 41, 43, 44, 50	sumsnd 38208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
52	51	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
53	39, 52	preq12d 4220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → {0, (𝐹‘𝐴)} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
54	53	supeq1d 8235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
55		xrltso 11850	. . . . . . . 8 ⊢ < Or ℝ*
56	55	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ*)
57		0xr 9965	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
59		iccssxr 12127	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
60	3, 13	ffvelrnd 6268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61	59, 60	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*)
62		suppr 8260	. . . . . . 7 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ*) → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
63	56, 58, 61, 62	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ) = if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)))
64		pnfxr 9971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
66	58, 65, 60	3jca 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)))
67		iccgelb 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝐴))
69	58, 61	xrlenltd 9983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐹‘𝐴) ↔ ¬ (𝐹‘𝐴) < 0))
70	68, 69	mpbid 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐹‘𝐴) < 0)
71	70	iffalsed 4047	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if((𝐹‘𝐴) < 0, 0, (𝐹‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))
72	63, 71	eqtr2d 2645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
73	72	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup({0, (𝐹‘𝐴)}, ℝ*, < ))
74		pwsn 4366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
75	74	ineq1i 3772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = ({∅, {𝐴}} ∩ Fin)
76		0fin 8073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ Fin
77		snfi 7923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
78		prssi 4293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ {𝐴} ∈ Fin) → {∅, {𝐴}} ⊆ Fin)
79	76, 77, 78	mp2an 704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅, {𝐴}} ⊆ Fin
80		df-ss 3554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin ↔ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
81	80	biimpi 205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({∅, {𝐴}} ⊆ Fin → ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}})
82	79, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({∅, {𝐴}} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
83	75, 82	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}}
84		mpteq1 4665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 {𝐴} ∩ Fin) = {∅, {𝐴}} → (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
85	83, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
86		0ex 4718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
87	86	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → ∅ ∈ V)
88	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → {𝐴} ∈ V)
89		sumex 14266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) ∈ V)
91		sumex 14266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦) ∈ V)
93		sumeq1 14267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = ∅) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
95		sumeq1 14267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
96	95	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 = {𝐴}) → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦))
97	87, 88, 90, 92, 94, 96	fmptpr 6343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
98	97	trud 1484	. . . . . . . . . 10 ⊢ {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
99	98	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {∅, {𝐴}} ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
100	85, 99	eqtri 2632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
101	100	rneqi 5273	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩}
102		rnpropg 5533	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)})
103	86, 1, 102	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ ran {⟨∅, Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)⟩, ⟨{𝐴}, Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)⟩} = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
104	101, 103	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = {Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}
105	104	supeq1i 8236	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < )
106	105	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ) = sup({Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦), Σ𝑦 ∈ {𝐴} (𝐹‘𝑦)}, ℝ*, < ))
107	54, 73, 106	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (𝐹‘𝐴) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)), ℝ*, < ))
108	36, 107	eqtr4d 2647	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (𝐹‘𝐴) = +∞) → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))
109	24, 108	pm2.61dan 828	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Or wor 4958  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  Σcsu 14264  Σ^{^}csumge0 39255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256

This theorem is referenced by:  sge0snmpt  39276  sge0sup  39284  sge0snmptf  39330  caratheodorylem1  39416