Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccdificc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccdificc 38613
 Description: The difference of two closed intervals with the same lower bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iccdificc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iccdificc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
iccdificc.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
iccdificc.4 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
iccdificc (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))

Proof of Theorem iccdificc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccdificc.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 iccdificc.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
5 iccssxr 12127 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐶) ⊆ ℝ*
6 eldifi 3694 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
75, 6sseldi 3566 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
87adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 iccdificc.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
109ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴 ∈ ℝ*)
112adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐵 ∈ ℝ*)
128adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
139adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
146adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
15 iccgelb 12101 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐴𝑥)
1613, 4, 14, 15syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴𝑥)
1716adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝐴𝑥)
18 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝐵 < 𝑥)
198, 2xrlenltd 9983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
2019adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → (𝑥𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑥))
2118, 20mpbird 246 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥𝐵)
2210, 11, 12, 17, 21eliccxrd 38600 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
23 eldifn 3695 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2423ad2antlr 759 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝐵 < 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2522, 24condan 831 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐵 < 𝑥)
26 iccleub 12100 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
2713, 4, 14, 26syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥𝐶)
282, 4, 8, 25, 27eliocd 38577 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
2928ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
30 dfss3 3558 . . 3 (((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵))𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
3129, 30sylibr 223 . 2 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ⊆ (𝐵(,]𝐶))
329adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
333adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
34 iocssxr 12128 . . . . . . . 8 (𝐵(,]𝐶) ⊆ ℝ*
35 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
3634, 35sseldi 3566 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3736adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
381adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
39 iccdificc.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
4039adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴𝐵)
41 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶))
42 iocgtlb 38571 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
4338, 33, 41, 42syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐵 < 𝑥)
4432, 38, 37, 40, 43xrlelttrd 11867 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴 < 𝑥)
4532, 37, 44xrltled 38427 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝐴𝑥)
46 iocleub 38572 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
4738, 33, 41, 46syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥𝐶)
4832, 33, 37, 45, 47eliccxrd 38600 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4932, 38, 37, 43xrgtnelicc 38612 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5048, 49eldifd 3551 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)) → 𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
5150ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
52 dfss3 3558 . . 3 ((𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐵(,]𝐶)𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
5351, 52sylibr 223 . 2 (𝜑 → (𝐵(,]𝐶) ⊆ ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)))
5431, 53eqssd 3585 1 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐶) ∖ (𝐴[,]𝐵)) = (𝐵(,]𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  (,]cioc 12047  [,]cicc 12049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioc 12051  df-icc 12053 This theorem is referenced by:  salexct2  39233
 Copyright terms: Public domain W3C validator