Theorem sge0prle 39294

Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 39287. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0prle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0prle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sge0prle.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
sge0prle.cd	⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
sge0prle.ce	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sge0prle	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sge0prle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 4212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐵})
2		dfsn2 4138	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
3	2	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵, 𝐵} = {𝐵}
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐵, 𝐵} = {𝐵})
5	1, 4	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐵})
6	5	mpteq1d 4666	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶) = (𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶))
7	6	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
8	7	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)))
9		sge0prle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
10		sge0prle.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
11		sge0prle.ce	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐸)
12	9, 10, 11	sge0snmpt 39276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
14	8, 13	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = 𝐸)
15		iccssxr 12127	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16	15, 10	sseldi 3566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ*)
17	16	xaddid2d 38476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) = 𝐸)
18	17	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (0 +𝑒 𝐸))
19		0xr 9965	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
21		sge0prle.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
22	15, 21	sseldi 3566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ*)
23		pnfxr 9971	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
25		iccgelb 12101	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ 𝐷)
26	20, 24, 21, 25	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
27	20, 22, 16, 26	xleadd1d 38486	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
28	18, 27	eqbrtrd 4605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
30	14, 29	eqbrtrd 4605	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
31		sge0prle.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
32	31	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑉)
33	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
34	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐷 ∈ (0[,]+∞))
35	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐸 ∈ (0[,]+∞))
36		sge0prle.cd	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → 𝐶 = 𝐷)
37		neqne 2790	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ≠ 𝐵)
38	37	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	32, 33, 34, 35, 36, 11, 38	sge0pr 39287	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) = (𝐷 +𝑒 𝐸))
40	22, 16	xaddcld 12003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ*)
41		xrleid 11859	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 +𝑒 𝐸) ∈ ℝ* → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
42	40, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
43	42	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (𝐷 +𝑒 𝐸) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
44	39, 43	eqbrtrd 4605	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))
45	30, 44	pm2.61dan 828	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ 𝐶)) ≤ (𝐷 +𝑒 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954   +_𝑒 cxad 11820  [,]cicc 12049  Σ^{^}csumge0 39255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-sumge0 39256

This theorem is referenced by:  omeunle  39406