Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omege0 39423
Description: If the outer measure of a set is greater than or equal to 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omege0.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omege0.x 𝑋 = dom 𝑂
omege0.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
omege0 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐴))

Proof of Theorem omege0
StepHypRef Expression
1 0xr 9965 . . 3 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3 pnfxr 9971 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
43a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5 omege0.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 omege0.x . . 3 𝑋 = dom 𝑂
7 omege0.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
85, 6, 7omecl 39393 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
9 iccgelb 12101 . 2 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂𝐴))
102, 4, 8, 9syl3anc 1318 1 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540   cuni 4372   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  +∞cpnf 9950  *cxr 9952  cle 9954  [,]cicc 12049  OutMeascome 39379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-pnf 9955  df-xr 9957  df-icc 12053  df-ome 39380
This theorem is referenced by:  omess0  39424
  Copyright terms: Public domain W3C validator