Theorem iccintsng 38596

Description: Intersection of two adiacent closed intervals is a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
iccintsng	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})

Proof of Theorem iccintsng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1057	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		simpl2 1058	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		simprl 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4		iccleub 12100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ≤ 𝐵)
6		simpl3 1059	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		simprr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
8		iccgelb 12101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝐵 ≤ 𝑥)
9	2, 6, 7, 8	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝐵 ≤ 𝑥)
10		eliccxr 38584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
12	11, 2	jca 553	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*))
13		xrletri3 11861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑥 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑥)))
15	5, 9, 14	mpbir2and 959	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))) → 𝑥 = 𝐵)
16	15	ex 449	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 = 𝐵))
17	16	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) → 𝑥 = 𝐵))
18		simpll1 1093	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
19		simpll2 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
20		simplrl 796	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
21		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
22		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
23		ubicc2 12160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	22, 24	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26	18, 19, 20, 21, 25	syl31anc 1321	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
27		simpll3 1095	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ*)
28		simplrr 797	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐶)
29		simpr 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
30		lbicc2 12159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐵[,]𝐶))
32	29, 31	eqeltrd 2688	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
33	19, 27, 28, 21, 32	syl31anc 1321	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))
34	26, 33	jca 553	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)))
35	34	ex 449	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶))))
36	17, 35	impbid 201	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ((𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)) ↔ 𝑥 = 𝐵))
37		elin 3758	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶)))
38		velsn 4141	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
39	36, 37, 38	3bitr4g 302	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → (𝑥 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) ↔ 𝑥 ∈ {𝐵}))
40	39	eqrdv 2608	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  {csn 4125   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954  [,]cicc 12049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-icc 12053

This theorem is referenced by:  iblspltprt  38865