Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmpwfi 36686
 Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
2 fvex 6113 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘2) ∈ V
31, 2eqeltri 2684 . . . . 5 𝑅 ∈ V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2610 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 eqid 2610 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)}
84, 5, 6, 7frlmbas 19918 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
93, 8mpan 702 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
10 frlmpwfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
119, 10syl6eqr 2662 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = 𝐵)
12 eqid 2610 . . . 4 {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
13 enrefg 7873 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝐼)
14 2nn 11062 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
151, 5znhash 19726 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℕ → (#‘(Base‘𝑅)) = 2)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘(Base‘𝑅)) = 2
17 hash2 13054 . . . . . . 7 (#‘2𝑜) = 2
1816, 17eqtr4i 2635 . . . . . 6 (#‘(Base‘𝑅)) = (#‘2𝑜)
19 2nn0 11186 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2016, 19eqeltri 2684 . . . . . . . 8 (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
21 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
22 hashclb 13011 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (#‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2420, 23mpbir 220 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ Fin
25 2onn 7607 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
26 nnfi 8038 . . . . . . . 8 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
28 hashen 12997 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((#‘(Base‘𝑅)) = (#‘2𝑜) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜))
2924, 27, 28mp2an 704 . . . . . 6 ((#‘(Base‘𝑅)) = (#‘2𝑜) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜)
3018, 29mpbi 219 . . . . 5 (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜
3130a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜)
321zncrng 19712 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0𝑅 ∈ CRing)
33 crngring 18381 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5 𝑅 ∈ Ring
355, 6ring0cl 18392 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3634, 35mp1i 13 . . . 4 (𝐼𝑉 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37 2on0 7456 . . . . . 6 2𝑜 ≠ ∅
38 2on 7455 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
39 on0eln0 5697 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ On → (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅)
4137, 40mpbir 220 . . . . 5 ∅ ∈ 2𝑜
4241a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ 2𝑜)
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 8197 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4411, 43eqbrtrrd 4607 . 2 (𝐼𝑉𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4512pwfi2en 36685 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
46 entr 7894 . 2 ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
4744, 45, 46syl2anc 691 1 (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  2𝑜c2o 7441   ↑𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Basecbs 15695  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  ℤ/nℤczn 19670   freeLMod cfrlm 19909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-hash 12980  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-prds 15931  df-pws 15933  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-dsmm 19895  df-frlm 19910 This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  36694
 Copyright terms: Public domain W3C validator