Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Unicode version

Theorem frlmpwfi 30974
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
frlmpwfi.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmpwfi.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
2 fvex 5882 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2551 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
7 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin }
84, 5, 6, 7frlmbasOLD 18656 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
93, 8mpan 670 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
10 frlmpwfi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
119, 10syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  B )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
13 enrefg 7559 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  ~~  I )
14 2nn 10705 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
151, 5znhash 18466 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  R
) )  =  2 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  2
17 hash2 12450 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
1816, 17eqtr4i 2499 . . . . . 6  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  (
# `  2o )
19 2nn0 10824 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2016, 19eqeltri 2551 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  e.  NN0
21 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
22 hashclb 12410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  ->  ( ( Base `  R )  e. 
Fin 
<->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  R )  e.  Fin  <->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 )
2420, 23mpbir 209 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  Fin
25 2onn 7301 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
26 nnfi 7722 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
28 hashen 12400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
)
2924, 27, 28mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
3018, 29mpbi 208 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  ~~  2o
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  R )  ~~  2o )
321zncrng 18452 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN0  ->  R  e. 
CRing )
33 crngring 17081 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5  |-  R  e. 
Ring
355, 6ring0cl 17092 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
3634, 35mp1i 12 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
37 2on0 7151 . . . . . 6  |-  2o  =/=  (/)
38 2on 7150 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
39 on0eln0 4939 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  On  ->  ( (/) 
e.  2o  <->  2o  =/=  (/) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  2o  <->  2o  =/=  (/) )
4137, 40mpbir 209 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (/)  e.  2o )
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2OLD 30970 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  ~~  { x  e.  ( 2o 
^m  I )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4411, 43eqbrtrrd 4475 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4512pwfi2en 30973 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
46 entr 7579 . 2  |-  ( ( B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  /\  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }  ~~  ( ~P I  i^i  Fin )
)  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i  Fin ) )
4744, 45, 46syl2anc 661 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    i^i cin 3480   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   class class class wbr 4453   Oncon0 4884   `'ccnv 5004   "cima 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   omcom 6695   2oc2o 7136    ^m cmap 7432    ~~ cen 7525   Fincfn 7528   NNcn 10548   2c2 10597   NN0cn0 10807   #chash 12385   Basecbs 14507   0gc0g 14712   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071  ℤ/nczn 18409   freeLMod cfrlm 18646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-hash 12386  df-dvds 13865  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-imas 14780  df-qus 14781  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-nsg 16071  df-eqg 16072  df-ghm 16137  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-rnghom 17236  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-lidl 17691  df-rsp 17692  df-2idl 17750  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-zn 18413  df-dsmm 18632  df-frlm 18647
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  30982
  Copyright terms: Public domain W3C validator