Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Unicode version

Theorem frlmpwfi 29458
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
frlmpwfi.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmpwfi.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
2 fvex 5706 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2513 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V 
\  { ( 0g
`  R ) } ) )  e.  Fin }
84, 5, 6, 7frlmbasOLD 18186 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
93, 8mpan 670 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  ( Base `  Y )
)
10 frlmpwfi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
119, 10syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  =  B )
12 eqid 2443 . . . 4  |-  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  =  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }
13 enrefg 7346 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  ~~  I )
14 2nn 10484 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
151, 5znhash 17996 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  R
) )  =  2 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  2
17 hash2 12168 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
1816, 17eqtr4i 2466 . . . . . 6  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  (
# `  2o )
19 2nn0 10601 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2016, 19eqeltri 2513 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  e.  NN0
21 fvex 5706 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
22 hashclb 12133 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  ->  ( ( Base `  R )  e. 
Fin 
<->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  R )  e.  Fin  <->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 )
2420, 23mpbir 209 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  Fin
25 2onn 7084 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
26 nnfi 7508 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
28 hashen 12123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
)
2924, 27, 28mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
3018, 29mpbi 208 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  ~~  2o
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  R )  ~~  2o )
321zncrng 17982 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN0  ->  R  e. 
CRing )
33 crngrng 16660 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5  |-  R  e. 
Ring
355, 6rng0cl 16671 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
3634, 35mp1i 12 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
37 2on0 6934 . . . . . 6  |-  2o  =/=  (/)
38 2on 6933 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
39 on0eln0 4779 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  On  ->  ( (/) 
e.  2o  <->  2o  =/=  (/) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  2o  <->  2o  =/=  (/) )
4137, 40mpbir 209 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (/)  e.  2o )
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2OLD 29454 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin }  ~~  { x  e.  ( 2o 
^m  I )  |  ( `' x "
( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4411, 43eqbrtrrd 4319 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin } )
4512pwfi2en 29457 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
46 entr 7366 . 2  |-  ( ( B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  ( `' x " ( _V 
\  { (/) } ) )  e.  Fin }  /\  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  ( `' x " ( _V  \  { (/)
} ) )  e. 
Fin }  ~~  ( ~P I  i^i  Fin )
)  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i  Fin ) )
4744, 45, 46syl2anc 661 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   {crab 2724   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    i^i cin 3332   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   {csn 3882   class class class wbr 4297   Oncon0 4724   `'ccnv 4844   "cima 4848   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481   2oc2o 6919    ^m cmap 7219    ~~ cen 7312   Fincfn 7315   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   #chash 12108   Basecbs 14179   0gc0g 14383   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651  ℤ/nczn 17939   freeLMod cfrlm 18176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-hash 12109  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-0g 14385  df-prds 14391  df-pws 14393  df-imas 14451  df-divs 14452  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-ghm 15750  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-rnghom 16811  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-rsp 17261  df-2idl 17319  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-zn 17943  df-dsmm 18162  df-frlm 18177
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  29466
  Copyright terms: Public domain W3C validator