Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Unicode version

Theorem frlmpwfi 35423
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
frlmpwfi.y  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
frlmpwfi.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6  |-  R  =  (ℤ/n `  2 )
2 fvex 5861 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  2
)  e.  _V
31, 2eqeltri 2488 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6  |-  Y  =  ( R freeLMod  I )
5 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
6 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
7 eqid 2404 . . . . . 6  |-  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  x finSupp  ( 0g `  R ) }  =  { x  e.  (
( Base `  R )  ^m  I )  |  x finSupp 
( 0g `  R
) }
84, 5, 6, 7frlmbas 19086 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\  I  e.  V )  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  x finSupp  ( 0g `  R ) }  =  ( Base `  Y )
)
93, 8mpan 670 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  x finSupp  ( 0g `  R ) }  =  ( Base `  Y )
)
10 frlmpwfi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
119, 10syl6eqr 2463 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  x finSupp  ( 0g `  R ) }  =  B )
12 eqid 2404 . . . 4  |-  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  x finSupp  (/) }  =  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  x finSupp  (/) }
13 enrefg 7587 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  I  ~~  I )
14 2nn 10736 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
151, 5znhash 18897 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  R
) )  =  2 )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  2
17 hash2 12521 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
1816, 17eqtr4i 2436 . . . . . 6  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  =  (
# `  2o )
19 2nn0 10855 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2016, 19eqeltri 2488 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( Base `  R
) )  e.  NN0
21 fvex 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
22 hashclb 12479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Base `  R )  e.  _V  ->  ( ( Base `  R )  e. 
Fin 
<->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( (
Base `  R )  e.  Fin  <->  ( # `  ( Base `  R ) )  e.  NN0 )
2420, 23mpbir 211 . . . . . . 7  |-  ( Base `  R )  e.  Fin
25 2onn 7328 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
26 nnfi 7750 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
28 hashen 12469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  R
)  e.  Fin  /\  2o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
)
2924, 27, 28mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( Base `  R ) )  =  ( # `  2o ) 
<->  ( Base `  R
)  ~~  2o )
3018, 29mpbi 210 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  ~~  2o
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( Base `  R )  ~~  2o )
321zncrng 18883 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  NN0  ->  R  e. 
CRing )
33 crngring 17531 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5  |-  R  e. 
Ring
355, 6ring0cl 17542 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
3634, 35mp1i 13 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
37 2on0 7178 . . . . . 6  |-  2o  =/=  (/)
38 2on 7177 . . . . . . 7  |-  2o  e.  On
39 on0eln0 5467 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  On  ->  ( (/) 
e.  2o  <->  2o  =/=  (/) ) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  2o  <->  2o  =/=  (/) )
4137, 40mpbir 211 . . . . 5  |-  (/)  e.  2o
4241a1i 11 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (/)  e.  2o )
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 7904 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( ( Base `  R
)  ^m  I )  |  x finSupp  ( 0g `  R ) }  ~~  { x  e.  ( 2o 
^m  I )  |  x finSupp  (/) } )
4411, 43eqbrtrrd 4419 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I )  |  x finSupp  (/) } )
4512pwfi2en 35421 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  x finSupp  (/) }  ~~  ( ~P I  i^i  Fin ) )
46 entr 7607 . 2  |-  ( ( B  ~~  { x  e.  ( 2o  ^m  I
)  |  x finSupp  (/) }  /\  { x  e.  ( 2o 
^m  I )  |  x finSupp  (/) }  ~~  ( ~P I  i^i  Fin )
)  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i  Fin ) )
4744, 45, 46syl2anc 661 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  ~~  ( ~P I  i^i 
Fin ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   {crab 2760   _Vcvv 3061    i^i cin 3415   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   class class class wbr 4397   Oncon0 5412   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   omcom 6685   2oc2o 7163    ^m cmap 7459    ~~ cen 7553   Fincfn 7556   finSupp cfsupp 7865   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   #chash 12454   Basecbs 14843   0gc0g 15056   Ringcrg 17520   CRingccrg 17521  ℤ/nczn 18842   freeLMod cfrlm 19077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-ec 7352  df-qs 7356  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-sup 7937  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-mod 12037  df-seq 12154  df-hash 12455  df-dvds 14198  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-0g 15058  df-prds 15064  df-pws 15066  df-imas 15124  df-qus 15125  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-sbg 16385  df-mulg 16386  df-subg 16524  df-nsg 16525  df-eqg 16526  df-ghm 16591  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-cring 17523  df-oppr 17594  df-dvdsr 17612  df-rnghom 17686  df-subrg 17749  df-lmod 17836  df-lss 17901  df-lsp 17940  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-lidl 18142  df-rsp 18143  df-2idl 18202  df-cnfld 18743  df-zring 18811  df-zrh 18843  df-zn 18846  df-dsmm 19063  df-frlm 19078
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  35431
  Copyright terms: Public domain W3C validator