Theorem 2onn 7607

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2𝑜 ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 7448	. 2 ⊢ 2𝑜 = suc 1𝑜
2		1onn 7606	. . 3 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
3		peano2 6978	. . 3 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → suc 1𝑜 ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1𝑜 ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2684	1 ⊢ 2𝑜 ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  suc csuc 5642  ωcom 6957  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-om 6958  df-1o 7447  df-2o 7448

This theorem is referenced by:  3onn  7608  nn2m  7617  nnneo  7618  nneob  7619  omopthlem1  7622  omopthlem2  7623  pwen  8018  en3  8082  en2eqpr  8713  en2eleq  8714  unctb  8910  infcdaabs  8911  ackbij1lem5  8929  sdom2en01  9007  fin56  9098  fin67  9100  fin1a2lem4  9108  alephexp1  9280  pwcfsdom  9284  alephom  9286  canthp1lem2  9354  pwxpndom2  9366  hash3  13055  hash2pr  13108  pr2pwpr  13116  rpnnen  14795  rexpen  14796  xpsfrnel  16046  symggen  17713  psgnunilem1  17736  znfld  19728  hauspwdom  21114  xpsmet  21997  xpsxms  22149  xpsms  22150  1oequni2o  32392  finxpreclem4  32407  finxp3o  32413  wepwso  36631  frlmpwfi  36686