Theorem nnfi 8038

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 8037	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		inss2 3796	. . 3 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3	1, 2	eqsstri 3598	. 2 ⊢ ω ⊆ Fin
4	3	sseli 3564	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539  Oncon0 5640  ωcom 6957  Fincfn 7841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845

This theorem is referenced by:  cardnn  8672  en2eqpr  8713  en2eleq  8714  infxpenlem  8719  dfac12k  8852  pwsdompw  8909  ackbij2lem1  8924  ackbij1lem3  8927  ackbij1lem5  8929  ackbij1lem14  8938  ackbij1b  8944  fin23lem23  9031  fin23lem22  9032  domtriomlem  9147  gchcda1  9357  gch2  9376  omina  9392  hashgval2  13028  hashdom  13029  hashp1i  13052  hash1snb  13068  hash2pr  13108  pr2pwpr  13116  hash3tr  13127  xpsfrnel  16046  symggen  17713  psgnunilem1  17736  lt6abl  18119  znfld  19728  frgpcyg  19741  xpsmet  21997  xpsxms  22149  xpsms  22150  isppw  24640  finxpreclem4  32407  harinf  36619  frlmpwfi  36686