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Theorem pj3si 28450
 Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1 𝐹C
pjadj2co.2 𝐺C
pjadj2co.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pj3si (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pj3si
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjadj2co.1 . . . . . . . . . 10 𝐹C
2 pjadj2co.2 . . . . . . . . . 10 𝐺C
3 pjadj2co.3 . . . . . . . . . 10 𝐻C
41, 2, 3pj2cocli 28448 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
61pjfi 27947 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐹): ℋ⟶ ℋ
72pjfi 27947 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
86, 7hocofi 28009 . . . . . . . . . . . 12 ((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
93pjfi 27947 . . . . . . . . . . . 12 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
108, 9hocofni 28010 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ
11 fnfvelrn 6264 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
1210, 11mpan 702 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
13 ssel 3562 . . . . . . . . . 10 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1412, 13syl5 33 . . . . . . . . 9 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1514imp 444 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
165, 15elind 3760 . . . . . . 7 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
1716adantll 746 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
183, 2, 1pj2cocli 28448 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻)
19 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
2019eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2118, 20syl5ibr 235 . . . . . . . 8 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2221imp 444 . . . . . . 7 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2322adantlr 747 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2417, 23elind 3760 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))
258, 9hococli 28008 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
26 hvsubcl 27258 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2725, 26mpdan 699 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2827adantl 481 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
29 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
3025adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
311, 2chincli 27703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐺) ∈ C
3231, 3chincli 27703 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
3332cheli 27473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
3529, 30, 343jca 1235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
37 his2sub 27333 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3919adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
4039oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦))
413, 2, 1pjadj2coi 28447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
4233, 41sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
431, 2, 3pj3lem1 28449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
4443oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4642, 45eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4740, 46sylan9eq 2664 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4847oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
4925, 33anim12i 588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
5049adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
51 hicl 27321 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5352subidd 10259 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
5438, 48, 533eqtr2d 2650 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5554expr 641 . . . . . . 7 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
5655ralrimiv 2948 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5732chshii 27468 . . . . . . 7 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S
58 shocel 27525 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
6028, 56, 59sylanbrc 695 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
6132pjvi 27948 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
6224, 60, 61syl2anc 691 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
63 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
64 hvaddsub12 27279 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
6525, 63, 25, 64syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
66 hvsubid 27267 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6725, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6867oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + 0))
69 ax-hvaddid 27245 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
7068, 69eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7165, 70eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7271fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7372adantl 481 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7462, 73eqtr3d 2646 . . 3 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7574ralrimiva 2949 . 2 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
768, 9hocofi 28009 . . 3 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7732pjfi 27947 . . 3 (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7876, 77hoeqi 28004 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
7975, 78sylib 207 1 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ran crn 5039   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   − cmin 10145   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ih csp 27163  0ℎc0v 27165   −ℎ cmv 27166   Sℋ csh 27169   Cℋ cch 27170  ⊥cort 27171  projℎcpjh 27178 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-pjh 27638 This theorem is referenced by:  pj3i  28451
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