Theorem pj3si 11780

Description: Stronger projection triplet theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
pjadj2co.1	|- F e. CH
pjadj2co.2	|- G e. CH
pjadj2co.3	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pj3si	|- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) -> (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (proj` ((F i^i G) i^i H)))

Proof of Theorem pj3si

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 2786	. . . . . 6 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ((F i^i G) i^i H) <-> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. (F i^i G) /\ ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. H))
2		elin 2786	. . . . . . . 8 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. (F i^i G) <-> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. F /\ ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. G))
3		pjadj2co.1	. . . . . . . . . 10 |- F e. CH
4		pjadj2co.2	. . . . . . . . . 10 |- G e. CH
5		pjadj2co.3	. . . . . . . . . 10 |- H e. CH
6	3, 4, 5	pj2cocli 11778	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. F)
7	6	adantl 424	. . . . . . . 8 |- ((ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. F)
8		ssel 2615	. . . . . . . . . 10 |- (ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. G))
9	3	pjfi 11284	. . . . . . . . . . . . 13 |- (proj` F):~H-->~H
10	4	pjfi 11284	. . . . . . . . . . . . 13 |- (proj` G):~H-->~H
11	9, 10	hocofi 11329	. . . . . . . . . . . 12 |- ((proj` F) o. (proj` G)):~H-->~H
12	5	pjfi 11284	. . . . . . . . . . . 12 |- (proj` H):~H-->~H
13	11, 12	hocofni 11330	. . . . . . . . . . 11 |- (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) Fn ~H
14		fnfvelrn 4786	. . . . . . . . . . 11 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) Fn ~H /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)))
15	13, 14	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (x e. ~H -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)))
16	8, 15	syl5 20	. . . . . . . . 9 |- (ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G -> (x e. ~H -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. G))
17	16	imp 377	. . . . . . . 8 |- ((ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. G)
18	2, 7, 17	sylanbrc 527	. . . . . . 7 |- ((ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. (F i^i G))
19	18	adantll 428	. . . . . 6 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. (F i^i G))
20		fveq1 4680	. . . . . . . . . 10 |- ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) = ((((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F))` x))
21	20	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. H <-> ((((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F))` x) e. H))
22	5, 4, 3	pj2cocli 11778	. . . . . . . . 9 |- (x e. ~H -> ((((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F))` x) e. H)
23	21, 22	syl5bir 227	. . . . . . . 8 |- ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) -> (x e. ~H -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. H))
24	23	imp 377	. . . . . . 7 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. H)
25	24	adantlr 429	. . . . . 6 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. H)
26	1, 19, 25	sylanbrc 527	. . . . 5 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ((F i^i G) i^i H))
27	3, 4	chincli 11016	. . . . . . . . 9 |- (F i^i G) e. CH
28	27, 5	chincli 11016	. . . . . . . 8 |- ((F i^i G) i^i H) e. CH
29	28	chshii 10730	. . . . . . 7 |- ((F i^i G) i^i H) e. SH
30		shocel 10788	. . . . . . 7 |- (((F i^i G) i^i H) e. SH -> ((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. (_|_` ((F i^i G) i^i H)) <-> ((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. ~H /\ A.y e. ((F i^i G) i^i H)((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0)))
31	29, 30	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. (_|_` ((F i^i G) i^i H)) <-> ((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. ~H /\ A.y e. ((F i^i G) i^i H)((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0))
32	11, 12	hococli 11328	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H)
33		hvsubcl 10519	. . . . . . . 8 |- ((x e. ~H /\ ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H) -> (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. ~H)
34	32, 33	mpdan 768	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. ~H)
35	34	adantl 424	. . . . . 6 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. ~H)
36		simpl 346	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H)) -> x e. ~H)
37	32	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H)) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H)
38	28	cheli 10735	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. ((F i^i G) i^i H) -> y e. ~H)
39	38	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H)) -> y e. ~H)
40	36, 37, 39	3jca 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H)) -> (x e. ~H /\ ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H))
41	40	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ (x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H))) -> (x e. ~H /\ ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H))
42		his2sub 10591	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. ~H /\ ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> ((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) .ih y) = ((x .ih y) - (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y)))
43	41, 42	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ (x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H))) -> ((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) .ih y) = ((x .ih y) - (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y)))
44	20	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) = ((((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F))` x))
45	44	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y) = (((((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F))` x) .ih y))
46	5, 4, 3	pjadj2coi 11777	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. ~H /\ y e. ~H) -> (((((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F))` x) .ih y) = (x .ih ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` y)))
47	46, 38	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H)) -> (((((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F))` x) .ih y) = (x .ih ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` y)))
48	3, 4, 5	pj3lem1 11779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. ((F i^i G) i^i H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` y) = y)
49	48	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. ((F i^i G) i^i H) -> (x .ih ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` y)) = (x .ih y))
50	49	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H)) -> (x .ih ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` y)) = (x .ih y))
51	47, 50	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H)) -> (((((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F))` x) .ih y) = (x .ih y))
52	45, 51	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . 10 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ (x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H))) -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y) = (x .ih y))
53	52	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ (x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H))) -> ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y) - (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y)) = ((x .ih y) - (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y)))
54	32, 38	anim12i 360	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H)) -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H))
55	54	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ (x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H))) -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H))
56		hicl 10580	. . . . . . . . . 10 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ y e. ~H) -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y) e. CC)
57		subid 6555	. . . . . . . . . 10 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y) e. CC -> ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y) - (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y)) = 0)
58	55, 56, 57	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ (x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H))) -> ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y) - (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) .ih y)) = 0)
59	43, 53, 58	3eqtr2d 1932	. . . . . . . 8 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ (x e. ~H /\ y e. ((F i^i G) i^i H))) -> ((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0)
60	59	expr 418	. . . . . . 7 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> (y e. ((F i^i G) i^i H) -> ((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0))
61	60	r19.21aiv 2175	. . . . . 6 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> A.y e. ((F i^i G) i^i H)((x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) .ih y) = 0)
62	31, 35, 61	sylanbrc 527	. . . . 5 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. (_|_` ((F i^i G) i^i H)))
63	28	pjvi 11285	. . . . 5 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ((F i^i G) i^i H) /\ (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) e. (_|_` ((F i^i G) i^i H))) -> ((proj` ((F i^i G) i^i H))` (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) +h (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)))) = ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x))
64	26, 62, 63	syl11anc 524	. . . 4 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> ((proj` ((F i^i G) i^i H))` (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) +h (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)))) = ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x))
65		id 73	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> x e. ~H)
66		hvaddsub12 10539	. . . . . . . 8 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H /\ x e. ~H /\ ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H) -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) +h (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x))) = (x +h (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x))))
67	32, 65, 32, 66	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) +h (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x))) = (x +h (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x))))
68		hvsubid 10527	. . . . . . . . 9 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) e. ~H -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) = 0h)
69	32, 68	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. ~H -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)) = 0h)
70	69	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (x +h (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x))) = (x +h 0h))
71		ax-hvaddid 10506	. . . . . . 7 |- (x e. ~H -> (x +h 0h) = x)
72	67, 70, 71	3eqtrd 1929	. . . . . 6 |- (x e. ~H -> (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) +h (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x))) = x)
73	72	fveq2d 4685	. . . . 5 |- (x e. ~H -> ((proj` ((F i^i G) i^i H))` (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) +h (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)))) = ((proj` ((F i^i G) i^i H))` x))
74	73	adantl 424	. . . 4 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> ((proj` ((F i^i G) i^i H))` (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) +h (x -h ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x)))) = ((proj` ((F i^i G) i^i H))` x))
75	64, 74	eqtr3d 1927	. . 3 |- ((((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) /\ x e. ~H) -> ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) = ((proj` ((F i^i G) i^i H))` x))
76	75	r19.21aiva 2176	. 2 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) -> A.x e. ~H ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) = ((proj` ((F i^i G) i^i H))` x))
77	11, 12	hocofi 11329	. . 3 |- (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)):~H-->~H
78	28	pjfi 11284	. . 3 |- (proj` ((F i^i G) i^i H)):~H-->~H
79	77, 78	hoeqi 11324	. 2 |- (A.x e. ~H ((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H))` x) = ((proj` ((F i^i G) i^i H))` x) <-> (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (proj` ((F i^i G) i^i H)))
80	76, 79	sylib 215	1 |- (((((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (((proj` H) o. (proj` G)) o. (proj` F)) /\ ran (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) C_ G) -> (((proj` F) o. (proj` G)) o. (proj` H)) = (proj` ((F i^i G) i^i H)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ran crn 3987   o. ccom 3990   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   - cmin 6445  ~Hchil 10420   +h cva 10421  0hc0v 10423   -h cmv 10424   .ih csp 10425  SHcsh 10429  CHcch 10430  _|_cort 10431  projcpj 10438

This theorem is referenced by:  pj3i 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870

Copyright terms: Public domain