HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pj3si Structured version   Unicode version

Theorem pj3si 27420
Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1  |-  F  e. 
CH
pjadj2co.2  |-  G  e. 
CH
pjadj2co.3  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pj3si  |-  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  ->  (
( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
)  =  ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )

Proof of Theorem pj3si
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjadj2co.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  e. 
CH
2 pjadj2co.2 . . . . . . . . . 10  |-  G  e. 
CH
3 pjadj2co.3 . . . . . . . . . 10  |-  H  e. 
CH
41, 2, 3pj2cocli 27418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  F
)
54adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  F )
61pjfi 26917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( proj h `  F ) : ~H --> ~H
72pjfi 26917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( proj h `  G ) : ~H --> ~H
86, 7hocofi 26979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) ) : ~H --> ~H
93pjfi 26917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( proj h `  H ) : ~H --> ~H
108, 9hocofni 26980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
)  Fn  ~H
11 fnfvelrn 5960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  Fn 
~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  ran  ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) )
1210, 11mpan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) )
13 ssel 3433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  ran  ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  -> 
( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  G
) )
1412, 13syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G  ->  ( x  e. 
~H  ->  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  G ) )
1514imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  G )
165, 15elind 3624 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  ( F  i^i  G
) )
1716adantll 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ( F  i^i  G ) )
183, 2, 1pj2cocli 27418 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) ) `  x )  e.  H
)
19 fveq1 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
)  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
)  ->  ( (
( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  =  ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
) `  x )
)
2019eleq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
)  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
)  ->  ( (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  H  <->  ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) ) `  x )  e.  H
) )
2118, 20syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
)  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
)  ->  ( x  e.  ~H  ->  ( (
( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  H ) )
2221imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  H
)
2322adantlr 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  H
)
2417, 23elind 3624 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ( ( F  i^i  G
)  i^i  H )
)
258, 9hococli 26978 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )
26 hvsubcl 26229 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )  ->  ( x  -h  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e. 
~H )
2725, 26mpdan 666 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  e.  ~H )
2827adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  e.  ~H )
29 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  ->  x  e.  ~H )
3025adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )
311, 2chincli 26673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  i^i  G )  e. 
CH
3231, 3chincli 26673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  e. 
CH
3332cheli 26445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H )  ->  y  e.  ~H )
3433adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
y  e.  ~H )
3529, 30, 343jca 1175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( x  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )
)
3635adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )  ->  ( x  e. 
~H  /\  ( (
( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H ) )
37 his2sub 26304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( x  -h  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  ( ( x  .ih  y
)  -  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
) ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )  ->  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  .ih  y )  =  ( ( x 
.ih  y )  -  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  .ih  y ) ) )
3919adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  =  ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) ) `  x ) )
4039oveq1d 6247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  ->  (
( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
)  =  ( ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) ) `  x )  .ih  y
) )
413, 2, 1pjadj2coi 27417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
) `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  y )
) )
4233, 41sylan2 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
) `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  y )
) )
431, 2, 3pj3lem1 27419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H )  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  y )  =  y )
4443oveq2d 6248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H )  ->  (
x  .ih  ( (
( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) )
4544adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( x  .ih  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  y ) )  =  ( x  .ih  y
) )
4642, 45eqtrd 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F )
) `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  y ) )
4740, 46sylan9eq 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  y ) )
4847oveq1d 6247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
)  -  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
) )  =  ( ( x  .ih  y
)  -  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
) ) )
4925, 33anim12i 564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  -> 
( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H ) )
5049adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  e.  ~H  /\  y  e. 
~H ) )
51 hicl 26292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  .ih  y )  e.  CC )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  .ih  y )  e.  CC )
5352subidd 9873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )  ->  ( ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
)  -  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  .ih  y
) )  =  0 )
5438, 48, 533eqtr2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  (
x  e.  ~H  /\  y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )  ->  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  .ih  y )  =  0 )
5554expr 613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  -> 
( ( x  -h  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 ) )
5655ralrimiv 2813 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  A. y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ( ( x  -h  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 )
5732chshii 26440 . . . . . . 7  |-  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  e.  SH
58 shocel 26495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  i^i  G
)  i^i  H )  e.  SH  ->  ( (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  e.  ( _|_ `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) )  <->  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  e.  ~H  /\  A. y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ( ( x  -h  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  e.  ( _|_ `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) )  <->  ( ( x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  e.  ~H  /\  A. y  e.  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ( ( x  -h  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  .ih  y )  =  0 ) )
6028, 56, 59sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
)  e.  ( _|_ `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )
6132pjvi 26918 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ( ( F  i^i  G
)  i^i  H )  /\  ( x  -h  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  e.  ( _|_ `  (
( F  i^i  G
)  i^i  H )
) )  ->  (
( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )
6224, 60, 61syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
) ) )  =  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )
63 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  e.  ~H )
64 hvaddsub12 26250 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  /\  x  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  +h  ( x  -h  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) )  =  ( x  +h  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  -h  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) ) )
6525, 63, 25, 64syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
) )  =  ( x  +h  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) ) )
66 hvsubid 26238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  e.  ~H  ->  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  -h  ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  =  0h )
6725, 66syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) )  =  0h )
6867oveq2d 6248 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) )  =  ( x  +h  0h ) )
69 ax-hvaddid 26216 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  0h )  =  x )
7068, 69eqtrd 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
x  +h  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  -h  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x ) ) )  =  x )
7165, 70eqtrd 2441 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
) )  =  x )
7271fveq2d 5807 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
) ) )  =  ( ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  x ) )
7372adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  +h  (
x  -h  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )
) ) )  =  ( ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  x ) )
7462, 73eqtr3d 2443 . . 3  |-  ( ( ( ( ( (
proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  x ) )
7574ralrimiva 2815 . 2  |-  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  ->  A. x  e.  ~H  ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) `  x )  =  ( ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) `  x ) )
768, 9hocofi 26979 . . 3  |-  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
) : ~H --> ~H
7732pjfi 26917 . . 3  |-  ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) : ~H --> ~H
7876, 77hoeqi 26974 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) ) `  x )  =  ( ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) `  x )  <-> 
( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) ) )
7975, 78sylib 196 1  |-  ( ( ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  =  ( ( ( proj h `  H )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  F ) )  /\  ran  ( ( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H ) )  C_  G )  ->  (
( ( proj h `  F )  o.  ( proj h `  G ) )  o.  ( proj h `  H )
)  =  ( proj h `  ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751    i^i cin 3410    C_ wss 3411   ran crn 4941    o. ccom 4944    Fn wfn 5518   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   0cc0 9440    - cmin 9759   ~Hchil 26131    +h cva 26132    .ih csp 26134   0hc0v 26136    -h cmv 26137   SHcsh 26140   CHcch 26141   _|_cort 26142   proj hcpjh 26149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cc 8765  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520  ax-hilex 26211  ax-hfvadd 26212  ax-hvcom 26213  ax-hvass 26214  ax-hv0cl 26215  ax-hvaddid 26216  ax-hfvmul 26217  ax-hvmulid 26218  ax-hvmulass 26219  ax-hvdistr1 26220  ax-hvdistr2 26221  ax-hvmul0 26222  ax-hfi 26291  ax-his1 26294  ax-his2 26295  ax-his3 26296  ax-his4 26297  ax-hcompl 26414
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-omul 7090  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-acn 8273  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-fbas 18626  df-fg 18627  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-lm 19913  df-haus 19999  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-fil 20529  df-fm 20621  df-flim 20622  df-flf 20623  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-cfil 21876  df-cau 21877  df-cmet 21878  df-grpo 25488  df-gid 25489  df-ginv 25490  df-gdiv 25491  df-ablo 25579  df-subgo 25599  df-vc 25734  df-nv 25780  df-va 25783  df-ba 25784  df-sm 25785  df-0v 25786  df-vs 25787  df-nmcv 25788  df-ims 25789  df-dip 25906  df-ssp 25930  df-ph 26023  df-cbn 26074  df-hnorm 26180  df-hba 26181  df-hvsub 26183  df-hlim 26184  df-hcau 26185  df-sh 26419  df-ch 26434  df-oc 26465  df-ch0 26466  df-shs 26521  df-pjh 26608
This theorem is referenced by:  pj3i  27421
  Copyright terms: Public domain W3C validator