HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chincli 27703
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1 𝐴C
chjcl.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
chincli (𝐴𝐵) ∈ C

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4 𝐴C
21elexi 3186 . . 3 𝐴 ∈ V
3 chjcl.2 . . . 4 𝐵C
43elexi 3186 . . 3 𝐵 ∈ V
52, 4intpr 4445 . 2 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵)
61, 3pm3.2i 470 . . . . 5 (𝐴C𝐵C )
72, 4prss 4291 . . . . 5 ((𝐴C𝐵C ) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ C )
86, 7mpbi 219 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ⊆ C
92prnz 4253 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≠ ∅
108, 9pm3.2i 470 . . 3 ({𝐴, 𝐵} ⊆ C ∧ {𝐴, 𝐵} ≠ ∅)
1110chintcli 27574 . 2 {𝐴, 𝐵} ∈ C
125, 11eqeltrri 2685 1 (𝐴𝐵) ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  wcel 1977  wne 2780  cin 3539  wss 3540  c0 3874  {cpr 4127   cint 4410   C cch 27170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-map 7746  df-nn 10898  df-sh 27448  df-ch 27462
This theorem is referenced by:  chdmm1i  27720  chdmj1i  27724  chincl  27742  ledii  27779  lejdii  27781  lejdiri  27782  pjoml2i  27828  pjoml3i  27829  pjoml4i  27830  pjoml6i  27832  cmcmlem  27834  cmcm2i  27836  cmbr2i  27839  cmbr3i  27843  cmm1i  27849  fh3i  27866  fh4i  27867  cm2mi  27869  qlaxr3i  27879  osumcori  27886  osumcor2i  27887  spansnm0i  27893  5oai  27904  3oalem5  27909  3oalem6  27910  3oai  27911  pjssmii  27924  pjssge0ii  27925  pjcji  27927  pjocini  27941  mayetes3i  27972  pjssdif2i  28417  pjssdif1i  28418  pjin1i  28435  pjin3i  28437  pjclem1  28438  pjclem4  28442  pjci  28443  pjcmul1i  28444  pjcmul2i  28445  pj3si  28450  pj3cor1i  28452  stji1i  28485  stm1i  28486  stm1add3i  28490  jpi  28513  golem1  28514  golem2  28515  goeqi  28516  stcltrlem2  28520  mdslle1i  28560  mdslj1i  28562  mdslj2i  28563  mdsl1i  28564  mdsl2i  28565  mdsl2bi  28566  cvmdi  28567  mdslmd1lem1  28568  mdslmd1lem2  28569  mdslmd1i  28572  mdsldmd1i  28574  mdslmd3i  28575  mdslmd4i  28576  csmdsymi  28577  mdexchi  28578  hatomistici  28605  chrelat2i  28608  cvexchlem  28611  cvexchi  28612  sumdmdlem2  28662  mdcompli  28672  dmdcompli  28673  mddmdin0i  28674
  Copyright terms: Public domain W3C validator