Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  mdslmd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdslmd1lem2 28569
 Description: Lemma for mdslmd1i 28572. (Contributed by NM, 29-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mdslmd.1 𝐴C
mdslmd.2 𝐵C
mdslmd.3 𝐶C
mdslmd.4 𝐷C
mdslmd1lem.5 𝑅C
Assertion
Ref Expression
mdslmd1lem2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))

Proof of Theorem mdslmd1lem2
StepHypRef Expression
1 ssrin 3800 . . . 4 (𝑅𝐷 → (𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵))
21adantl 481 . . 3 (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵))
32imim1i 61 . 2 (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
4 simpllr 795 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐵 𝑀* 𝐴)
5 mdslmd.3 . . . . . . . . . . . 12 𝐶C
6 mdslmd1lem.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑅C
75, 6chub2i 27713 . . . . . . . . . . 11 𝐶 ⊆ (𝑅 𝐶)
8 sstr 3576 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐶𝐶 ⊆ (𝑅 𝐶)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
97, 8mpan2 703 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐶𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
109ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
1110ad2antlr 759 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 𝐶))
12 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝐷)
1312ad2antlr 759 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝐷)
1411, 13ssind 3799 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷))
15 ssin 3797 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
16 mdslmd.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷C
175, 16chincli 27703 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶𝐷) ∈ C
1817, 6chub2i 27713 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷))
19 sstr 3576 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2018, 19mpan2 703 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2115, 20sylbi 206 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2221adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2322ad2antlr 759 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))
2414, 23ssind 3799 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 (𝐶𝐷))))
25 inss2 3796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
26 sstr 3576 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2725, 26mpan 702 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2827ad2antll 761 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
2928ad2antlr 759 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
30 sstr 3576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅𝐷𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3130ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝑅𝐷) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3231ad2ant2l 778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3332adantll 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
3433adantll 746 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
35 ssinss1 3803 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3635ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3736ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
3834, 37jca 553 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
39 mdslmd.1 . . . . . . . . . . 11 𝐴C
40 mdslmd.2 . . . . . . . . . . 11 𝐵C
4139, 40chjcli 27700 . . . . . . . . . 10 (𝐴 𝐵) ∈ C
426, 17, 41chlubi 27714 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
4338, 42sylib 207 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
4429, 43jca 553 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
456, 5chjcli 27700 . . . . . . . . 9 (𝑅 𝐶) ∈ C
4645, 16chincli 27703 . . . . . . . 8 ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∈ C
476, 17chjcli 27700 . . . . . . . 8 (𝑅 (𝐶𝐷)) ∈ C
4846, 47, 41chlubi 27714 . . . . . . 7 ((((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
4944, 48sylib 207 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵))
5039, 40, 46, 47mdslle1i 28560 . . . . . 6 ((𝐵 𝑀* 𝐴𝐴 ⊆ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ (𝑅 (𝐶𝐷))) ∧ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∨ (𝑅 (𝐶𝐷))) ⊆ (𝐴 𝐵)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
514, 24, 49, 50syl3anc 1318 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
52 inindir 3793 . . . . . . 7 (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) = (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
53 sstr 3576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ (𝐶𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴𝑅)
5415, 53sylanb 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴𝑅)
5554ad2ant2r 779 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝑅)
56 simplll 794 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴𝐶)
5755, 56ssind 3799 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐴 ⊆ (𝑅𝐶))
58 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵))
5933, 58jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)))
606, 5, 41chlubi 27714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
6159, 60sylib 207 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))
6257, 61jca 553 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵)))
6339, 40, 6, 5mdslj1i 28562 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝑅𝐶) ∧ (𝑅 𝐶) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6462, 63sylan2 490 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6564anassrs 678 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)))
6665ineq1d 3775 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐵) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)))
6752, 66syl5req 2657 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) = (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵))
6815biimpi 205 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴 ⊆ (𝐶𝐷))
7054, 69ssind 3799 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) → 𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)))
7131adantll 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → 𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵))
7235ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵))
7371, 72jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝑅 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7473, 42sylib 207 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷) → (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))
7570, 74anim12i 588 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶𝐷) ⊆ 𝑅) ∧ ((𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)) ∧ 𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7675an4s 865 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵)))
7739, 40, 6, 17mdslj1i 28562 . . . . . . . . 9 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (𝐴 ⊆ (𝑅 ∩ (𝐶𝐷)) ∧ (𝑅 (𝐶𝐷)) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
7876, 77sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ (((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷))) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
7978anassrs 678 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)))
80 inindir 3793 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))
8180a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵) = ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))
8281oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐷) ∩ 𝐵)) = ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))))
8379, 82eqtr2d 2645 . . . . . 6 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) = ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵))
8467, 83sseq12d 3597 . . . . 5 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → ((((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) ↔ (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ∩ 𝐵) ⊆ ((𝑅 (𝐶𝐷)) ∩ 𝐵)))
8551, 84bitr4d 270 . . . 4 ((((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) ∧ ((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷)) → (((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)) ↔ (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))))
8685exbiri 650 . . 3 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵))) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
8786a2d 29 . 2 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → ((((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
883, 87syl5 33 1 (((𝐴 𝑀 𝐵𝐵 𝑀* 𝐴) ∧ ((𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐶 ⊆ (𝐴 𝐵) ∧ 𝐷 ⊆ (𝐴 𝐵)))) → (((𝑅𝐵) ⊆ (𝐷𝐵) → (((𝑅𝐵) ∨ (𝐶𝐵)) ∩ (𝐷𝐵)) ⊆ ((𝑅𝐵) ∨ ((𝐶𝐵) ∩ (𝐷𝐵)))) → (((𝐶𝐷) ⊆ 𝑅𝑅𝐷) → ((𝑅 𝐶) ∩ 𝐷) ⊆ (𝑅 (𝐶𝐷)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549   Cℋ cch 27170   ∨ℋ chj 27174   𝑀ℋ cmd 27207   𝑀ℋ* cdmd 27208 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-chj 27553  df-md 28523  df-dmd 28524 This theorem is referenced by:  mdslmd1lem4  28571
 Copyright terms: Public domain W3C validator