Theorem chincli 11016

Description: Closure of Hilbert lattice intersection.

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	|- A e. CH
chjcl.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
chincli	|- (A i^i B) e. CH

Proof of Theorem chincli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 |- A e. CH
2	1	elisseti 2301	. . 3 |- A e. _V
3		chjcl.2	. . . 4 |- B e. CH
4	3	elisseti 2301	. . 3 |- B e. _V
5	2, 4	intpr 3250	. 2 |- |^|{A, B} = (A i^i B)
6	1, 3	pm3.2i 307	. . . . 5 |- (A e. CH /\ B e. CH)
7	2, 4	prss 3138	. . . . 5 |- ((A e. CH /\ B e. CH) <-> {A, B} C_ CH)
8	6, 7	mpbi 206	. . . 4 |- {A, B} C_ CH
9	2	prnz 3120	. . . 4 |- {A, B} =/= (/)
10	8, 9	pm3.2i 307	. . 3 |- ({A, B} C_ CH /\ {A, B} =/= (/))
11	10	chintcli 10928	. 2 |- |^|{A, B} e. CH
12	5, 11	eqeltrri 1968	1 |- (A i^i B) e. CH

Syntax hints:   /\ wa 240   e. wcel 1300   =/= wne 2017   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  {cpr 3045  |^|cint 3214  CHcch 10430

This theorem is referenced by:  chdmm1i 11033  chdmj1i 11037  chincl 11055  ledii 11092  lejdii 11094  lejdiri 11095  pjoml2i 11161  pjoml3i 11162  pjoml4i 11163  pjoml6i 11165  cmcmlem 11167  cmcm2i 11169  cmbr2i 11172  cmbr3i 11176  cmm1i 11182  fh3i 11199  fh4i 11200  cm2mi 11202  qlaxr3i 11212  osumcori 11222  osumcor2i 11225  spansnm0i 11230  5oai 11241  3oalem5 11246  3oalem6 11247  3oai 11248  pjssmii 11261  pjssge0ii 11262  pjcji 11264  pjocini 11278  mayetes3i 11310  pjssdif2i 11746  pjssdif1i 11747  pjin1i 11765  pjin3i 11767  pjclem1 11768  pjclem4 11772  pjci 11773  pjcmmul1i 11774  pjcmmul2i 11775  pj3si 11780  pj3cor1i 11782  stji1i 11814  stm1i 11815  stm1add3i 11819  jpi 11842  golem1 11843  golem2 11844  goeqi 11845  stcltrlem2 11849  mdslle1i 11889  mdslj1i 11891  mdslj2i 11892  mdsl1i 11893  mdsl2i 11894  mdsl2bi 11895  cvmdi 11896  mdslmd1lem1 11897  mdslmd1lem2 11898  mdslmd1i 11901  mdsldmd1i 11903  mdslmd3i 11904  mdslmd4i 11905  csmdsymi 11906  mdexchi 11907  hatomistici 11934  chrelat2i 11937  cvexchlem 11940  cvexchi 11941  sumdmdlem2 11991  mdcompli 12001  dmdcompli 12002  mddmdin0i 12003

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hv0cl 10505

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-n 7108  df-sh 10709  df-ch 10725

Copyright terms: Public domain