HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Unicode version

Theorem chincli 27099
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chincli  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21elexi 3091 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43elexi 3091 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 4286 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 456 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
72, 4prss 4151 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  <->  { A ,  B }  C_ 
CH )
86, 7mpbi 211 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  CH
92prnz 4116 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 456 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_ 
CH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110chintcli 26970 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  CH
125, 11eqeltrri 2507 1  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    e. wcel 1868    =/= wne 2618    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {cpr 3998   |^|cint 4252   CHcch 26568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-hilex 26638  ax-hfvadd 26639  ax-hv0cl 26642  ax-hfvmul 26644
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-map 7479  df-nn 10611  df-sh 26846  df-ch 26860
This theorem is referenced by:  chdmm1i  27116  chdmj1i  27120  chincl  27138  ledii  27175  lejdii  27177  lejdiri  27178  pjoml2i  27224  pjoml3i  27225  pjoml4i  27226  pjoml6i  27228  cmcmlem  27230  cmcm2i  27232  cmbr2i  27235  cmbr3i  27239  cmm1i  27245  fh3i  27262  fh4i  27263  cm2mi  27265  qlaxr3i  27275  osumcori  27282  osumcor2i  27283  spansnm0i  27289  5oai  27300  3oalem5  27305  3oalem6  27306  3oai  27307  pjssmii  27320  pjssge0ii  27321  pjcji  27323  pjocini  27337  mayetes3i  27368  pjssdif2i  27813  pjssdif1i  27814  pjin1i  27831  pjin3i  27833  pjclem1  27834  pjclem4  27838  pjci  27839  pjcmul1i  27840  pjcmul2i  27841  pj3si  27846  pj3cor1i  27848  stji1i  27881  stm1i  27882  stm1add3i  27886  jpi  27909  golem1  27910  golem2  27911  goeqi  27912  stcltrlem2  27916  mdslle1i  27956  mdslj1i  27958  mdslj2i  27959  mdsl1i  27960  mdsl2i  27961  mdsl2bi  27962  cvmdi  27963  mdslmd1lem1  27964  mdslmd1lem2  27965  mdslmd1i  27968  mdsldmd1i  27970  mdslmd3i  27971  mdslmd4i  27972  csmdsymi  27973  mdexchi  27974  hatomistici  28001  chrelat2i  28004  cvexchlem  28007  cvexchi  28008  sumdmdlem2  28058  mdcompli  28068  dmdcompli  28069  mddmdin0i  28070
  Copyright terms: Public domain W3C validator