HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Unicode version

Theorem chincli 24798
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chincli  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21elexi 2980 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43elexi 2980 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 4158 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 452 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
72, 4prss 4024 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  <->  { A ,  B }  C_ 
CH )
86, 7mpbi 208 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  CH
92prnz 3991 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 452 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_ 
CH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110chintcli 24669 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  CH
125, 11eqeltrri 2512 1  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1761    =/= wne 2604    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {cpr 3876   |^|cint 4125   CHcch 24266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-hilex 24336  ax-hfvadd 24337  ax-hv0cl 24340  ax-hfvmul 24342
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-map 7212  df-nn 10319  df-sh 24544  df-ch 24559
This theorem is referenced by:  chdmm1i  24815  chdmj1i  24819  chincl  24837  ledii  24874  lejdii  24876  lejdiri  24877  pjoml2i  24923  pjoml3i  24924  pjoml4i  24925  pjoml6i  24927  cmcmlem  24929  cmcm2i  24931  cmbr2i  24934  cmbr3i  24938  cmm1i  24944  fh3i  24961  fh4i  24962  cm2mi  24964  qlaxr3i  24974  osumcori  24981  osumcor2i  24982  spansnm0i  24988  5oai  24999  3oalem5  25004  3oalem6  25005  3oai  25006  pjssmii  25019  pjssge0ii  25020  pjcji  25022  pjocini  25036  mayetes3i  25068  pjssdif2i  25513  pjssdif1i  25514  pjin1i  25531  pjin3i  25533  pjclem1  25534  pjclem4  25538  pjci  25539  pjcmul1i  25540  pjcmul2i  25541  pj3si  25546  pj3cor1i  25548  stji1i  25581  stm1i  25582  stm1add3i  25586  jpi  25609  golem1  25610  golem2  25611  goeqi  25612  stcltrlem2  25616  mdslle1i  25656  mdslj1i  25658  mdslj2i  25659  mdsl1i  25660  mdsl2i  25661  mdsl2bi  25662  cvmdi  25663  mdslmd1lem1  25664  mdslmd1lem2  25665  mdslmd1i  25668  mdsldmd1i  25670  mdslmd3i  25671  mdslmd4i  25672  csmdsymi  25673  mdexchi  25674  hatomistici  25701  chrelat2i  25704  cvexchlem  25707  cvexchi  25708  sumdmdlem2  25758  mdcompli  25768  dmdcompli  25769  mddmdin0i  25770
  Copyright terms: Public domain W3C validator