HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Unicode version

Theorem chincli 22915
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chincli  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21elexi 2925 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43elexi 2925 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 4043 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 442 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
72, 4prss 3912 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  <->  { A ,  B }  C_ 
CH )
86, 7mpbi 200 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  CH
92prnz 3883 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 442 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_ 
CH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110chintcli 22786 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  CH
125, 11eqeltrri 2475 1  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2567    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {cpr 3775   |^|cint 4010   CHcch 22385
This theorem is referenced by:  chdmm1i  22932  chdmj1i  22936  chincl  22954  ledii  22991  lejdii  22993  lejdiri  22994  pjoml2i  23040  pjoml3i  23041  pjoml4i  23042  pjoml6i  23044  cmcmlem  23046  cmcm2i  23048  cmbr2i  23051  cmbr3i  23055  cmm1i  23061  fh3i  23078  fh4i  23079  cm2mi  23081  qlaxr3i  23091  osumcori  23098  osumcor2i  23099  spansnm0i  23105  5oai  23116  3oalem5  23121  3oalem6  23122  3oai  23123  pjssmii  23136  pjssge0ii  23137  pjcji  23139  pjocini  23153  mayetes3i  23185  pjssdif2i  23630  pjssdif1i  23631  pjin1i  23648  pjin3i  23650  pjclem1  23651  pjclem4  23655  pjci  23656  pjcmul1i  23657  pjcmul2i  23658  pj3si  23663  pj3cor1i  23665  stji1i  23698  stm1i  23699  stm1add3i  23703  jpi  23726  golem1  23727  golem2  23728  goeqi  23729  stcltrlem2  23733  mdslle1i  23773  mdslj1i  23775  mdslj2i  23776  mdsl1i  23777  mdsl2i  23778  mdsl2bi  23779  cvmdi  23780  mdslmd1lem1  23781  mdslmd1lem2  23782  mdslmd1i  23785  mdsldmd1i  23787  mdslmd3i  23788  mdslmd4i  23789  csmdsymi  23790  mdexchi  23791  hatomistici  23818  chrelat2i  23821  cvexchlem  23824  cvexchi  23825  sumdmdlem2  23875  mdcompli  23885  dmdcompli  23886  mddmdin0i  23887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hv0cl 22459  ax-hfvmul 22461
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-map 6979  df-nn 9957  df-sh 22662  df-ch 22677
  Copyright terms: Public domain W3C validator