HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Unicode version

Theorem chincli 26356
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chincli  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21elexi 3105 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43elexi 3105 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 4305 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
72, 4prss 4169 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  <->  { A ,  B }  C_ 
CH )
86, 7mpbi 208 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  CH
92prnz 4134 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 455 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_ 
CH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110chintcli 26227 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  CH
125, 11eqeltrri 2528 1  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1804    =/= wne 2638    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {cpr 4016   |^|cint 4271   CHcch 25824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-hilex 25894  ax-hfvadd 25895  ax-hv0cl 25898  ax-hfvmul 25900
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-map 7424  df-nn 10544  df-sh 26102  df-ch 26117
This theorem is referenced by:  chdmm1i  26373  chdmj1i  26377  chincl  26395  ledii  26432  lejdii  26434  lejdiri  26435  pjoml2i  26481  pjoml3i  26482  pjoml4i  26483  pjoml6i  26485  cmcmlem  26487  cmcm2i  26489  cmbr2i  26492  cmbr3i  26496  cmm1i  26502  fh3i  26519  fh4i  26520  cm2mi  26522  qlaxr3i  26532  osumcori  26539  osumcor2i  26540  spansnm0i  26546  5oai  26557  3oalem5  26562  3oalem6  26563  3oai  26564  pjssmii  26577  pjssge0ii  26578  pjcji  26580  pjocini  26594  mayetes3i  26626  pjssdif2i  27071  pjssdif1i  27072  pjin1i  27089  pjin3i  27091  pjclem1  27092  pjclem4  27096  pjci  27097  pjcmul1i  27098  pjcmul2i  27099  pj3si  27104  pj3cor1i  27106  stji1i  27139  stm1i  27140  stm1add3i  27144  jpi  27167  golem1  27168  golem2  27169  goeqi  27170  stcltrlem2  27174  mdslle1i  27214  mdslj1i  27216  mdslj2i  27217  mdsl1i  27218  mdsl2i  27219  mdsl2bi  27220  cvmdi  27221  mdslmd1lem1  27222  mdslmd1lem2  27223  mdslmd1i  27226  mdsldmd1i  27228  mdslmd3i  27229  mdslmd4i  27230  csmdsymi  27231  mdexchi  27232  hatomistici  27259  chrelat2i  27262  cvexchlem  27265  cvexchi  27266  sumdmdlem2  27316  mdcompli  27326  dmdcompli  27327  mddmdin0i  27328
  Copyright terms: Public domain W3C validator