HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Unicode version

Theorem chincli 26054
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chincli  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21elexi 3123 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43elexi 3123 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 4315 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
72, 4prss 4181 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  <->  { A ,  B }  C_ 
CH )
86, 7mpbi 208 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  CH
92prnz 4146 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 455 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_ 
CH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110chintcli 25925 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  CH
125, 11eqeltrri 2552 1  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {cpr 4029   |^|cint 4282   CHcch 25522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-hilex 25592  ax-hfvadd 25593  ax-hv0cl 25596  ax-hfvmul 25598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-map 7419  df-nn 10533  df-sh 25800  df-ch 25815
This theorem is referenced by:  chdmm1i  26071  chdmj1i  26075  chincl  26093  ledii  26130  lejdii  26132  lejdiri  26133  pjoml2i  26179  pjoml3i  26180  pjoml4i  26181  pjoml6i  26183  cmcmlem  26185  cmcm2i  26187  cmbr2i  26190  cmbr3i  26194  cmm1i  26200  fh3i  26217  fh4i  26218  cm2mi  26220  qlaxr3i  26230  osumcori  26237  osumcor2i  26238  spansnm0i  26244  5oai  26255  3oalem5  26260  3oalem6  26261  3oai  26262  pjssmii  26275  pjssge0ii  26276  pjcji  26278  pjocini  26292  mayetes3i  26324  pjssdif2i  26769  pjssdif1i  26770  pjin1i  26787  pjin3i  26789  pjclem1  26790  pjclem4  26794  pjci  26795  pjcmul1i  26796  pjcmul2i  26797  pj3si  26802  pj3cor1i  26804  stji1i  26837  stm1i  26838  stm1add3i  26842  jpi  26865  golem1  26866  golem2  26867  goeqi  26868  stcltrlem2  26872  mdslle1i  26912  mdslj1i  26914  mdslj2i  26915  mdsl1i  26916  mdsl2i  26917  mdsl2bi  26918  cvmdi  26919  mdslmd1lem1  26920  mdslmd1lem2  26921  mdslmd1i  26924  mdsldmd1i  26926  mdslmd3i  26927  mdslmd4i  26928  csmdsymi  26929  mdexchi  26930  hatomistici  26957  chrelat2i  26960  cvexchlem  26963  cvexchi  26964  sumdmdlem2  27014  mdcompli  27024  dmdcompli  27025  mddmdin0i  27026
  Copyright terms: Public domain W3C validator