HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chincli Structured version   Unicode version

Theorem chincli 24878
Description: Closure of Hilbert lattice intersection. (Contributed by NM, 15-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ch0le.1  |-  A  e. 
CH
chjcl.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
chincli  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH

Proof of Theorem chincli
StepHypRef Expression
1 ch0le.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21elexi 2997 . . 3  |-  A  e. 
_V
3 chjcl.2 . . . 4  |-  B  e. 
CH
43elexi 2997 . . 3  |-  B  e. 
_V
52, 4intpr 4176 . 2  |-  |^| { A ,  B }  =  ( A  i^i  B )
61, 3pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )
72, 4prss 4042 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  <->  { A ,  B }  C_ 
CH )
86, 7mpbi 208 . . . 4  |-  { A ,  B }  C_  CH
92prnz 4009 . . . 4  |-  { A ,  B }  =/=  (/)
108, 9pm3.2i 455 . . 3  |-  ( { A ,  B }  C_ 
CH  /\  { A ,  B }  =/=  (/) )
1110chintcli 24749 . 2  |-  |^| { A ,  B }  e.  CH
125, 11eqeltrri 2514 1  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   {cpr 3894   |^|cint 4143   CHcch 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-hilex 24416  ax-hfvadd 24417  ax-hv0cl 24420  ax-hfvmul 24422
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-map 7231  df-nn 10338  df-sh 24624  df-ch 24639
This theorem is referenced by:  chdmm1i  24895  chdmj1i  24899  chincl  24917  ledii  24954  lejdii  24956  lejdiri  24957  pjoml2i  25003  pjoml3i  25004  pjoml4i  25005  pjoml6i  25007  cmcmlem  25009  cmcm2i  25011  cmbr2i  25014  cmbr3i  25018  cmm1i  25024  fh3i  25041  fh4i  25042  cm2mi  25044  qlaxr3i  25054  osumcori  25061  osumcor2i  25062  spansnm0i  25068  5oai  25079  3oalem5  25084  3oalem6  25085  3oai  25086  pjssmii  25099  pjssge0ii  25100  pjcji  25102  pjocini  25116  mayetes3i  25148  pjssdif2i  25593  pjssdif1i  25594  pjin1i  25611  pjin3i  25613  pjclem1  25614  pjclem4  25618  pjci  25619  pjcmul1i  25620  pjcmul2i  25621  pj3si  25626  pj3cor1i  25628  stji1i  25661  stm1i  25662  stm1add3i  25666  jpi  25689  golem1  25690  golem2  25691  goeqi  25692  stcltrlem2  25696  mdslle1i  25736  mdslj1i  25738  mdslj2i  25739  mdsl1i  25740  mdsl2i  25741  mdsl2bi  25742  cvmdi  25743  mdslmd1lem1  25744  mdslmd1lem2  25745  mdslmd1i  25748  mdsldmd1i  25750  mdslmd3i  25751  mdslmd4i  25752  csmdsymi  25753  mdexchi  25754  hatomistici  25781  chrelat2i  25784  cvexchlem  25787  cvexchi  25788  sumdmdlem2  25838  mdcompli  25848  dmdcompli  25849  mddmdin0i  25850
  Copyright terms: Public domain W3C validator