Theorem chintcli 27574

Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
chintcli	⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Proof of Theorem chintcli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chintcl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
2	1	simpli 473	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ Cℋ
3		chsssh 27466	. . . . 5 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
4	2, 3	sstri 3577	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ Sℋ
5	1	simpri 477	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
7	6	shintcli 27572	. 2 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ
8	2	sseli 3564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ Cℋ )
9		vex 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	chlimi 27475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑦 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑦)
11	10	3exp 1256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
12	11	com3r 85	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
13	8, 12	syl5 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
14	13	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
15	14	ralimdva 2945	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦))
16	5	fint 5997	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
17	9	elint2 4417	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
18	15, 16, 17	3imtr4g 284	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
19	18	impcom 445	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
20	19	gen2 1714	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
21		isch2 27464	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ Cℋ ↔ (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)))
22	7, 20, 21	mpbir2an 957	1 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∀wal 1473   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∩ cint 4410   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ℕcn 10897   ⇝_𝑣 chli 27168   S_ℋ csh 27169   C_ℋ cch 27170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hv0cl 27244  ax-hfvmul 27246

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-map 7746  df-nn 10898  df-sh 27448  df-ch 27462

This theorem is referenced by:  chintcl  27575  chincli  27703