Theorem chintcli 10928

Description: The intersection of a non-empty set of closed subspaces is a closed subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	|- (A C_ CH /\ A =/= (/))

Assertion

Ref	Expression
chintcli	|- |^|A e. CH

Proof of Theorem chintcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 10726	. 2 |- (|^|A e. CH <-> (|^|A e. SH /\ A.fA.x((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)))
2		chintcl.1	. . . . . 6 |- (A C_ CH /\ A =/= (/))
3	2	simpli 347	. . . . 5 |- A C_ CH
4		chsssh 10727	. . . . 5 |- CH C_ SH
5	3, 4	sstri 2626	. . . 4 |- A C_ SH
6	2	simpri 351	. . . 4 |- A =/= (/)
7	5, 6	pm3.2i 307	. . 3 |- (A C_ SH /\ A =/= (/))
8	7	shintcli 10926	. 2 |- |^|A e. SH
9		visset 2295	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
10	9	chlimi 10737	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. CH /\ f:NN-->y /\ f ~~>v x) -> x e. y)
11	10	3exp 1066	. . . . . . . . 9 |- (y e. CH -> (f:NN-->y -> (f ~~>v x -> x e. y)))
12	11	com3r 39	. . . . . . . 8 |- (f ~~>v x -> (y e. CH -> (f:NN-->y -> x e. y)))
13	3	sseli 2617	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> y e. CH)
14	12, 13	syl5 20	. . . . . . 7 |- (f ~~>v x -> (y e. A -> (f:NN-->y -> x e. y)))
15	14	imp 377	. . . . . 6 |- ((f ~~>v x /\ y e. A) -> (f:NN-->y -> x e. y))
16	15	ralimdvaa 2171	. . . . 5 |- (f ~~>v x -> (A.y e. A f:NN-->y -> A.y e. A x e. y))
17	6	fint 4591	. . . . 5 |- (f:NN-->|^|A <-> A.y e. A f:NN-->y)
18	9	elint2 3221	. . . . 5 |- (x e. |^|A <-> A.y e. A x e. y)
19	16, 17, 18	3imtr4g 612	. . . 4 |- (f ~~>v x -> (f:NN-->|^|A -> x e. |^|A))
20	19	impcom 378	. . 3 |- ((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)
21	20	gen2 1329	. 2 |- A.fA.x((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)
22	1, 8, 21	mpbir2an 800	1 |- |^|A e. CH

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   C_ wss 2593  (/)c0 2875  |^|cint 3214   class class class wbr 3338  -->wf 3994  NNcn 6449   ~~>v chli 10428  SHcsh 10429  CHcch 10430

This theorem is referenced by:  chintcl 10929  chincli 11016

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731  ax-hilex 10501  ax-hv0cl 10505

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-n 7108  df-sh 10709  df-ch 10725

Copyright terms: Public domain