Theorem mayetes3i 27972

Description: Mayet's equation E^*₃, derived from E₃. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mayetes3.a	⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
mayetes3.b	⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
mayetes3.c	⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
mayetes3.d	⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
mayetes3.f	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
mayetes3.g	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
mayetes3.r	⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
mayetes3.ac	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
mayetes3.af	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.cf	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
mayetes3.ab	⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
mayetes3.cd	⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
mayetes3.fg	⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
mayetes3.rx	⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
mayetes3.x	⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
mayetes3.y	⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
mayetes3.z	⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mayetes3i	⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Proof of Theorem mayetes3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mayetes3.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ Cℋ
2		mayetes3.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ Cℋ
3	1, 2	chjcli 27700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∈ Cℋ
4		mayetes3.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
5	3, 4	chjcli 27700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∈ Cℋ
6		mayetes3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ Cℋ
7	5, 6	chjcomi 27711	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) = (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
8	7	eqimssi 3622	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹))
9		mayetes3.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐵 ∈ Cℋ
10	1, 9	chjcli 27700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∈ Cℋ
11	10, 6	chub1i 27712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅)
12	1, 9, 6	chjassi 27729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∨ℋ 𝑅) = (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
13	11, 12	sseqtri 3600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
14	9, 6	chjcli 27700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
15	1, 14	chjcli 27700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
16	15, 6	chub2i 27713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
17	13, 16	sstri 3577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)))
18		mayetes3.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 ∈ Cℋ
19	2, 18	chjcli 27700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
20	19, 6	chub1i 27712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅)
21	2, 18, 6	chjassi 27729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
22	20, 21	sseqtri 3600	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
23	18, 6	chjcli 27700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
24	2, 23	chjcli 27700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
25	24, 6	chub2i 27713	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
26	22, 25	sstri 3577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
27		ss2in 3802	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∧ (𝐶 ∨ℋ 𝐷) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) → ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))))
28	17, 26, 27	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
29		mayetes3.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
30	4, 29	chjcli 27700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
31	30, 6	chub1i 27712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
32	4, 29, 6	chjassi 27729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
33	31, 32	sseqtri 3600	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
34	29, 6	chjcli 27700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
35	4, 34	chjcli 27700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ∈ Cℋ
36	35, 6	chub2i 27713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
37	33, 36	sstri 3577	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
38		ss2in 3802	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∧ (𝐹 ∨ℋ 𝐺) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) → (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
39	28, 37, 38	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
40		ss2in 3802	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ⊆ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) → ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))))
41	8, 39, 40	mp2an 704	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
42	15, 24	chincli 27703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
43	42, 35	chincli 27703	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) ∈ Cℋ
44		mayetes3.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
45	44, 5	eqeltri 2684	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 ∈ Cℋ
46	45	choccli 27550	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ∈ Cℋ
47		mayetes3.rx	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝑋)
48	6, 46, 47	lecmii 27846	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋)
49	6, 45	cmcm2i 27836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 𝐶ℋ 𝑋 ↔ 𝑅 𝐶ℋ (⊥‘𝑋))
50	48, 49	mpbir 220	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ 𝑋
51	50, 44	breqtri 4608	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
52	6, 9	chub2i 27713	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)
53	14, 1	chub2i 27713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
54	52, 53	sstri 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
55	6, 15, 54	lecmii 27846	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))
56	6, 18	chub2i 27713	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)
57	23, 2	chub2i 27713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
58	56, 57	sstri 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
59	6, 24, 58	lecmii 27846	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
60	6, 15, 24, 55, 59	cm2mi 27869	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))
61	6, 29	chub2i 27713	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)
62	34, 4	chub2i 27713	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∨ℋ 𝑅) ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
63	61, 62	sstri 3577	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
64	6, 35, 63	lecmii 27846	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
65	6, 42, 35, 60, 64	cm2mi 27869	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 𝐶ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
66	6, 5, 43, 51, 65	fh3i 27866	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
67	6, 42, 35, 60, 64	fh3i 27866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
68	6, 15, 24, 55, 59	fh3i 27866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) = ((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))))
69	68	ineq1i 3772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
70	67, 69	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) = (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))
71	70	ineq2i 3773	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
72	66, 71	eqtr2i 2633	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∨ℋ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)) ∩ (((𝑅 ∨ℋ (𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)))) ∩ (𝑅 ∨ℋ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) = (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
73	41, 72	sseqtri 3600	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))))
74	9, 18	chjcli 27700	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∈ Cℋ
75	74, 29	chjcli 27700	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∈ Cℋ
76	6, 75	chub2i 27713	. . . 4 ⊢ 𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
77		mayetes3.ac	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐶)
78		mayetes3.af	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐹)
79		mayetes3.cf	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐹)
80		mayetes3.ab	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝐵)
81	1, 2	chub1i 27712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
82	3, 4	chub1i 27712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
83	82, 44	sseqtr4i 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∨ℋ 𝐶) ⊆ 𝑋
84	81, 83	sstri 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑋
85	1, 45	chsscon3i 27704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴))
86	84, 85	mpbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐴)
87	47, 86	sstri 3577	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴)
88	6, 1	chsscon2i 27706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐴) ↔ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅))
89	87, 88	mpbi 219	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘𝑅)
90	80, 89	ssini 3798	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ⊆ ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
91	9, 6	chdmj1i 27724	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐵) ∩ (⊥‘𝑅))
92	90, 91	sseqtr4i 3601	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ (⊥‘(𝐵 ∨ℋ 𝑅))
93		mayetes3.cd	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝐷)
94	2, 1	chub2i 27713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐴 ∨ℋ 𝐶)
95	94, 83	sstri 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑋
96	2, 45	chsscon3i 27704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶))
97	95, 96	mpbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐶)
98	47, 97	sstri 3577	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶)
99	6, 2	chsscon2i 27706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐶) ↔ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅))
100	98, 99	mpbi 219	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘𝑅)
101	93, 100	ssini 3798	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
102	18, 6	chdmj1i 27724	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐷) ∩ (⊥‘𝑅))
103	101, 102	sseqtr4i 3601	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ⊆ (⊥‘(𝐷 ∨ℋ 𝑅))
104		mayetes3.fg	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝐺)
105	4, 3	chub2i 27713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 ⊆ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
106	105, 44	sseqtr4i 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ⊆ 𝑋
107	4, 45	chsscon3i 27704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝑋 ↔ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹))
108	106, 107	mpbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥‘𝑋) ⊆ (⊥‘𝐹)
109	47, 108	sstri 3577	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹)
110	6, 4	chsscon2i 27706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ⊆ (⊥‘𝐹) ↔ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅))
111	109, 110	mpbi 219	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘𝑅)
112	104, 111	ssini 3798	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 ⊆ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
113	29, 6	chdmj1i 27724	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝑅))
114	112, 113	sseqtr4i 3601	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∨ℋ 𝑅))
115		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) = ((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹)
116		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))) = (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))
117	74, 29, 6	chjjdiri 27767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
118	9, 18, 6	chjjdiri 27767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) = ((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))
119	118	oveq1i 6559	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
120	117, 119	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝑅) ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅)) ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))
121	1, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120	mayete3i 27971	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
122	5, 43	chincli 27703	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ∈ Cℋ
123	75, 6	chjcli 27700	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∈ Cℋ
124	6, 122, 123	chlubii 27715	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅) ∧ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅)))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)) → (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅))
125	76, 121, 124	mp2an 704	. . 3 ⊢ (𝑅 ∨ℋ (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∩ (((𝐴 ∨ℋ (𝐵 ∨ℋ 𝑅)) ∩ (𝐶 ∨ℋ (𝐷 ∨ℋ 𝑅))) ∩ (𝐹 ∨ℋ (𝐺 ∨ℋ 𝑅))))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
126	73, 125	sstri 3577	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))) ⊆ (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
127	44	oveq1i 6559	. . 3 ⊢ (𝑋 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅)
128		mayetes3.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺))
129	127, 128	ineq12i 3774	. 2 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) = ((((𝐴 ∨ℋ 𝐶) ∨ℋ 𝐹) ∨ℋ 𝑅) ∩ (((𝐴 ∨ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 ∨ℋ 𝐷)) ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)))
130		mayetes3.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = ((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺)
131	130	oveq1i 6559	. 2 ⊢ (𝑍 ∨ℋ 𝑅) = (((𝐵 ∨ℋ 𝐷) ∨ℋ 𝐺) ∨ℋ 𝑅)
132	126, 129, 131	3sstr4i 3607	1 ⊢ ((𝑋 ∨ℋ 𝑅) ∩ 𝑌) ⊆ (𝑍 ∨ℋ 𝑅)

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   C_ℋ cch 27170  ⊥cort 27171   ∨_ℋ chj 27174   𝐶_ℋ ccm 27177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-lm 20843  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-dip 26940  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494  df-shs 27551  df-chj 27553  df-pjh 27638  df-cm 27826

This theorem is referenced by: (None)