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Theorem mayetes3i 25145
Description: Mayet's equation E^*3, derived from E3. Solution, for n = 3, to open problem in Remark (b) after Theorem 7.1 of [Mayet3] p. 1240. (Contributed by NM, 10-May-2009.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayetes3.a  |-  A  e. 
CH
mayetes3.b  |-  B  e. 
CH
mayetes3.c  |-  C  e. 
CH
mayetes3.d  |-  D  e. 
CH
mayetes3.f  |-  F  e. 
CH
mayetes3.g  |-  G  e. 
CH
mayetes3.r  |-  R  e. 
CH
mayetes3.ac  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayetes3.af  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
mayetes3.cf  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
mayetes3.ab  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayetes3.cd  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
mayetes3.fg  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
mayetes3.rx  |-  R  C_  ( _|_ `  X )
mayetes3.x  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
mayetes3.y  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
mayetes3.z  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayetes3i  |-  ( ( X  vH  R )  i^i  Y )  C_  ( Z  vH  R )

Proof of Theorem mayetes3i
StepHypRef Expression
1 mayetes3.a . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
CH
2 mayetes3.c . . . . . . . . 9  |-  C  e. 
CH
31, 2chjcli 24872 . . . . . . . 8  |-  ( A  vH  C )  e. 
CH
4 mayetes3.f . . . . . . . 8  |-  F  e. 
CH
53, 4chjcli 24872 . . . . . . 7  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  e. 
CH
6 mayetes3.r . . . . . . 7  |-  R  e. 
CH
75, 6chjcomi 24883 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  vH  C
)  vH  F )  vH  R )  =  ( R  vH  ( ( A  vH  C )  vH  F ) )
87eqimssi 3422 . . . . 5  |-  ( ( ( A  vH  C
)  vH  F )  vH  R )  C_  ( R  vH  ( ( A  vH  C )  vH  F ) )
9 mayetes3.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
CH
101, 9chjcli 24872 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
1110, 6chub1i 24884 . . . . . . . . 9  |-  ( A  vH  B )  C_  ( ( A  vH  B )  vH  R
)
121, 9, 6chjassi 24901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  vH  B )  vH  R )  =  ( A  vH  ( B  vH  R ) )
1311, 12sseqtri 3400 . . . . . . . 8  |-  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  ( B  vH  R ) )
149, 6chjcli 24872 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  vH  R )  e. 
CH
151, 14chjcli 24872 . . . . . . . . 9  |-  ( A  vH  ( B  vH  R ) )  e. 
CH
1615, 6chub2i 24885 . . . . . . . 8  |-  ( A  vH  ( B  vH  R ) )  C_  ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )
1713, 16sstri 3377 . . . . . . 7  |-  ( A  vH  B )  C_  ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )
18 mayetes3.d . . . . . . . . . . 11  |-  D  e. 
CH
192, 18chjcli 24872 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  vH  D )  e. 
CH
2019, 6chub1i 24884 . . . . . . . . 9  |-  ( C  vH  D )  C_  ( ( C  vH  D )  vH  R
)
212, 18, 6chjassi 24901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  vH  D )  vH  R )  =  ( C  vH  ( D  vH  R ) )
2220, 21sseqtri 3400 . . . . . . . 8  |-  ( C  vH  D )  C_  ( C  vH  ( D  vH  R ) )
2318, 6chjcli 24872 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  vH  R )  e. 
CH
242, 23chjcli 24872 . . . . . . . . 9  |-  ( C  vH  ( D  vH  R ) )  e. 
CH
2524, 6chub2i 24885 . . . . . . . 8  |-  ( C  vH  ( D  vH  R ) )  C_  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )
2622, 25sstri 3377 . . . . . . 7  |-  ( C  vH  D )  C_  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )
27 ss2in 3589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  vH  B
)  C_  ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  /\  ( C  vH  D )  C_  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  C_  (
( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) ) )
2817, 26, 27mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  C_  ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )
29 mayetes3.g . . . . . . . . . 10  |-  G  e. 
CH
304, 29chjcli 24872 . . . . . . . . 9  |-  ( F  vH  G )  e. 
CH
3130, 6chub1i 24884 . . . . . . . 8  |-  ( F  vH  G )  C_  ( ( F  vH  G )  vH  R
)
324, 29, 6chjassi 24901 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  vH  G )  vH  R )  =  ( F  vH  ( G  vH  R ) )
3331, 32sseqtri 3400 . . . . . . 7  |-  ( F  vH  G )  C_  ( F  vH  ( G  vH  R ) )
3429, 6chjcli 24872 . . . . . . . . 9  |-  ( G  vH  R )  e. 
CH
354, 34chjcli 24872 . . . . . . . 8  |-  ( F  vH  ( G  vH  R ) )  e. 
CH
3635, 6chub2i 24885 . . . . . . 7  |-  ( F  vH  ( G  vH  R ) )  C_  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) )
3733, 36sstri 3377 . . . . . 6  |-  ( F  vH  G )  C_  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) )
38 ss2in 3589 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) ) 
C_  ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  /\  ( F  vH  G ) 
C_  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )  ->  (
( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  i^i  ( F  vH  G ) )  C_  ( ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )
3928, 37, 38mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( C  vH  D ) )  i^i  ( F  vH  G
) )  C_  (
( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )
40 ss2in 3589 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  vH  C )  vH  F )  vH  R
)  C_  ( R  vH  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )  /\  (
( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  i^i  ( F  vH  G ) )  C_  ( ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )  ->  (
( ( ( A  vH  C )  vH  F )  vH  R
)  i^i  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( C  vH  D ) )  i^i  ( F  vH  G
) ) )  C_  ( ( R  vH  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )  i^i  (
( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) ) )
418, 39, 40mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  vH  C )  vH  F
)  vH  R )  i^i  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) ) )  C_  ( ( R  vH  ( ( A  vH  C )  vH  F ) )  i^i  ( ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )
4215, 24chincli 24875 . . . . . . 7  |-  ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  e.  CH
4342, 35chincli 24875 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) )  e.  CH
44 mayetes3.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
4544, 5eqeltri 2513 . . . . . . . . . 10  |-  X  e. 
CH
4645choccli 24722 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  X )  e.  CH
47 mayetes3.rx . . . . . . . . 9  |-  R  C_  ( _|_ `  X )
486, 46, 47lecmii 25018 . . . . . . . 8  |-  R  C_H  ( _|_ `  X )
496, 45cmcm2i 25008 . . . . . . . 8  |-  ( R  C_H  X  <->  R  C_H  ( _|_ `  X ) )
5048, 49mpbir 209 . . . . . . 7  |-  R  C_H  X
5150, 44breqtri 4327 . . . . . 6  |-  R  C_H  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
526, 9chub2i 24885 . . . . . . . . . 10  |-  R  C_  ( B  vH  R )
5314, 1chub2i 24885 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  vH  R )  C_  ( A  vH  ( B  vH  R ) )
5452, 53sstri 3377 . . . . . . . . 9  |-  R  C_  ( A  vH  ( B  vH  R ) )
556, 15, 54lecmii 25018 . . . . . . . 8  |-  R  C_H  ( A  vH  ( B  vH  R ) )
566, 18chub2i 24885 . . . . . . . . . 10  |-  R  C_  ( D  vH  R )
5723, 2chub2i 24885 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  vH  R )  C_  ( C  vH  ( D  vH  R ) )
5856, 57sstri 3377 . . . . . . . . 9  |-  R  C_  ( C  vH  ( D  vH  R ) )
596, 24, 58lecmii 25018 . . . . . . . 8  |-  R  C_H  ( C  vH  ( D  vH  R ) )
606, 15, 24, 55, 59cm2mi 25041 . . . . . . 7  |-  R  C_H  ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )
616, 29chub2i 24885 . . . . . . . . 9  |-  R  C_  ( G  vH  R )
6234, 4chub2i 24885 . . . . . . . . 9  |-  ( G  vH  R )  C_  ( F  vH  ( G  vH  R ) )
6361, 62sstri 3377 . . . . . . . 8  |-  R  C_  ( F  vH  ( G  vH  R ) )
646, 35, 63lecmii 25018 . . . . . . 7  |-  R  C_H  ( F  vH  ( G  vH  R ) )
656, 42, 35, 60, 64cm2mi 25041 . . . . . 6  |-  R  C_H  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) )
666, 5, 43, 51, 65fh3i 25038 . . . . 5  |-  ( R  vH  ( ( ( A  vH  C )  vH  F )  i^i  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )  =  ( ( R  vH  (
( A  vH  C
)  vH  F )
)  i^i  ( R  vH  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )
676, 42, 35, 60, 64fh3i 25038 . . . . . . 7  |-  ( R  vH  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )  =  ( ( R  vH  ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )
686, 15, 24, 55, 59fh3i 25038 . . . . . . . 8  |-  ( R  vH  ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  =  ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )
6968ineq1i 3560 . . . . . . 7  |-  ( ( R  vH  ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )  =  ( ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )
7067, 69eqtri 2463 . . . . . 6  |-  ( R  vH  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )  =  ( ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )
7170ineq2i 3561 . . . . 5  |-  ( ( R  vH  ( ( A  vH  C )  vH  F ) )  i^i  ( R  vH  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )  =  ( ( R  vH  (
( A  vH  C
)  vH  F )
)  i^i  ( (
( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )
7266, 71eqtr2i 2464 . . . 4  |-  ( ( R  vH  ( ( A  vH  C )  vH  F ) )  i^i  ( ( ( R  vH  ( A  vH  ( B  vH  R ) ) )  i^i  ( R  vH  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) ) )  i^i  ( R  vH  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )  =  ( R  vH  ( ( ( A  vH  C )  vH  F )  i^i  (
( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )
7341, 72sseqtri 3400 . . 3  |-  ( ( ( ( A  vH  C )  vH  F
)  vH  R )  i^i  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) ) )  C_  ( R  vH  ( ( ( A  vH  C )  vH  F )  i^i  (
( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )
749, 18chjcli 24872 . . . . . 6  |-  ( B  vH  D )  e. 
CH
7574, 29chjcli 24872 . . . . 5  |-  ( ( B  vH  D )  vH  G )  e. 
CH
766, 75chub2i 24885 . . . 4  |-  R  C_  ( ( ( B  vH  D )  vH  G )  vH  R
)
77 mayetes3.ac . . . . 5  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
78 mayetes3.af . . . . 5  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
79 mayetes3.cf . . . . 5  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
80 mayetes3.ab . . . . . . 7  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
811, 2chub1i 24884 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  ( A  vH  C )
823, 4chub1i 24884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  C )  C_  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
8382, 44sseqtr4i 3401 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  vH  C )  C_  X
8481, 83sstri 3377 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  X
851, 45chsscon3i 24876 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  X  <->  ( _|_ `  X )  C_  ( _|_ `  A ) )
8684, 85mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  X )  C_  ( _|_ `  A )
8747, 86sstri 3377 . . . . . . . 8  |-  R  C_  ( _|_ `  A )
886, 1chsscon2i 24878 . . . . . . . 8  |-  ( R 
C_  ( _|_ `  A
)  <->  A  C_  ( _|_ `  R ) )
8987, 88mpbi 208 . . . . . . 7  |-  A  C_  ( _|_ `  R )
9080, 89ssini 3585 . . . . . 6  |-  A  C_  ( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  R ) )
919, 6chdmj1i 24896 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( B  vH  R
) )  =  ( ( _|_ `  B
)  i^i  ( _|_ `  R ) )
9290, 91sseqtr4i 3401 . . . . 5  |-  A  C_  ( _|_ `  ( B  vH  R ) )
93 mayetes3.cd . . . . . . 7  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
942, 1chub2i 24885 . . . . . . . . . . 11  |-  C  C_  ( A  vH  C )
9594, 83sstri 3377 . . . . . . . . . 10  |-  C  C_  X
962, 45chsscon3i 24876 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  X  <->  ( _|_ `  X )  C_  ( _|_ `  C ) )
9795, 96mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  X )  C_  ( _|_ `  C )
9847, 97sstri 3377 . . . . . . . 8  |-  R  C_  ( _|_ `  C )
996, 2chsscon2i 24878 . . . . . . . 8  |-  ( R 
C_  ( _|_ `  C
)  <->  C  C_  ( _|_ `  R ) )
10098, 99mpbi 208 . . . . . . 7  |-  C  C_  ( _|_ `  R )
10193, 100ssini 3585 . . . . . 6  |-  C  C_  ( ( _|_ `  D
)  i^i  ( _|_ `  R ) )
10218, 6chdmj1i 24896 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( D  vH  R
) )  =  ( ( _|_ `  D
)  i^i  ( _|_ `  R ) )
103101, 102sseqtr4i 3401 . . . . 5  |-  C  C_  ( _|_ `  ( D  vH  R ) )
104 mayetes3.fg . . . . . . 7  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
1054, 3chub2i 24885 . . . . . . . . . . 11  |-  F  C_  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
106105, 44sseqtr4i 3401 . . . . . . . . . 10  |-  F  C_  X
1074, 45chsscon3i 24876 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
C_  X  <->  ( _|_ `  X )  C_  ( _|_ `  F ) )
108106, 107mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( _|_ `  X )  C_  ( _|_ `  F )
10947, 108sstri 3377 . . . . . . . 8  |-  R  C_  ( _|_ `  F )
1106, 4chsscon2i 24878 . . . . . . . 8  |-  ( R 
C_  ( _|_ `  F
)  <->  F  C_  ( _|_ `  R ) )
111109, 110mpbi 208 . . . . . . 7  |-  F  C_  ( _|_ `  R )
112104, 111ssini 3585 . . . . . 6  |-  F  C_  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  R ) )
11329, 6chdmj1i 24896 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  ( G  vH  R
) )  =  ( ( _|_ `  G
)  i^i  ( _|_ `  R ) )
114112, 113sseqtr4i 3401 . . . . 5  |-  F  C_  ( _|_ `  ( G  vH  R ) )
115 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
116 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) )  =  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) )
11774, 29, 6chjjdiri 24939 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  vH  D
)  vH  G )  vH  R )  =  ( ( ( B  vH  D )  vH  R
)  vH  ( G  vH  R ) )
1189, 18, 6chjjdiri 24939 . . . . . . 7  |-  ( ( B  vH  D )  vH  R )  =  ( ( B  vH  R )  vH  ( D  vH  R ) )
119118oveq1i 6113 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  vH  D
)  vH  R )  vH  ( G  vH  R
) )  =  ( ( ( B  vH  R )  vH  ( D  vH  R ) )  vH  ( G  vH  R ) )
120117, 119eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( B  vH  D
)  vH  G )  vH  R )  =  ( ( ( B  vH  R )  vH  ( D  vH  R ) )  vH  ( G  vH  R ) )
1211, 14, 2, 23, 4, 34, 77, 78, 79, 92, 103, 114, 115, 116, 120mayete3i 25143 . . . 4  |-  ( ( ( A  vH  C
)  vH  F )  i^i  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )  C_  ( (
( B  vH  D
)  vH  G )  vH  R )
1225, 43chincli 24875 . . . . 5  |-  ( ( ( A  vH  C
)  vH  F )  i^i  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )  e.  CH
12375, 6chjcli 24872 . . . . 5  |-  ( ( ( B  vH  D
)  vH  G )  vH  R )  e.  CH
1246, 122, 123chlubii 24887 . . . 4  |-  ( ( R  C_  ( (
( B  vH  D
)  vH  G )  vH  R )  /\  (
( ( A  vH  C )  vH  F
)  i^i  ( (
( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) )  C_  ( (
( B  vH  D
)  vH  G )  vH  R ) )  -> 
( R  vH  (
( ( A  vH  C )  vH  F
)  i^i  ( (
( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )  C_  (
( ( B  vH  D )  vH  G
)  vH  R )
)
12576, 121, 124mp2an 672 . . 3  |-  ( R  vH  ( ( ( A  vH  C )  vH  F )  i^i  ( ( ( A  vH  ( B  vH  R ) )  i^i  ( C  vH  ( D  vH  R ) ) )  i^i  ( F  vH  ( G  vH  R ) ) ) ) )  C_  (
( ( B  vH  D )  vH  G
)  vH  R )
12673, 125sstri 3377 . 2  |-  ( ( ( ( A  vH  C )  vH  F
)  vH  R )  i^i  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) ) )  C_  ( (
( B  vH  D
)  vH  G )  vH  R )
12744oveq1i 6113 . . 3  |-  ( X  vH  R )  =  ( ( ( A  vH  C )  vH  F )  vH  R
)
128 mayetes3.y . . 3  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
129127, 128ineq12i 3562 . 2  |-  ( ( X  vH  R )  i^i  Y )  =  ( ( ( ( A  vH  C )  vH  F )  vH  R )  i^i  (
( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  i^i  ( F  vH  G ) ) )
130 mayetes3.z . . 3  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
131130oveq1i 6113 . 2  |-  ( Z  vH  R )  =  ( ( ( B  vH  D )  vH  G )  vH  R
)
132126, 129, 1313sstr4i 3407 1  |-  ( ( X  vH  R )  i^i  Y )  C_  ( Z  vH  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3339    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CHcch 24343   _|_cort 24344    vH chj 24347    C_H ccm 24350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cc 8616  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374  ax-hilex 24413  ax-hfvadd 24414  ax-hvcom 24415  ax-hvass 24416  ax-hv0cl 24417  ax-hvaddid 24418  ax-hfvmul 24419  ax-hvmulid 24420  ax-hvmulass 24421  ax-hvdistr1 24422  ax-hvdistr2 24423  ax-hvmul0 24424  ax-hfi 24493  ax-his1 24496  ax-his2 24497  ax-his3 24498  ax-his4 24499  ax-hcompl 24616
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-hom 14274  df-cco 14275  df-rest 14373  df-topn 14374  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-topgen 14394  df-pt 14395  df-prds 14398  df-xrs 14452  df-qtop 14457  df-imas 14458  df-xps 14460  df-mre 14536  df-mrc 14537  df-acs 14539  df-mnd 15427  df-submnd 15477  df-mulg 15560  df-cntz 15847  df-cmn 16291  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-cnfld 17831  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-cld 18635  df-ntr 18636  df-cls 18637  df-nei 18714  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-lm 18845  df-haus 18931  df-tx 19147  df-hmeo 19340  df-fil 19431  df-fm 19523  df-flim 19524  df-flf 19525  df-xms 19907  df-ms 19908  df-tms 19909  df-cfil 20778  df-cau 20779  df-cmet 20780  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-subgo 23801  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-dip 24108  df-ssp 24132  df-ph 24225  df-cbn 24276  df-hnorm 24382  df-hba 24383  df-hvsub 24385  df-hlim 24386  df-hcau 24387  df-sh 24621  df-ch 24636  df-oc 24667  df-ch0 24668  df-shs 24723  df-chj 24725  df-pjh 24810  df-cm 24998
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