Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjle12 16885
 Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 27752 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjle12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍𝑌 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑍))

Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . 2 = (join‘𝐾)
4 latpos 16873 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
54adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6 simpr1 1060 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
7 simpr2 1061 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
8 simpr3 1062 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
9 eqid 2610 . . . 4 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
10 simpl 472 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
111, 3, 9, 10, 6, 7latcl2 16871 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (meet‘𝐾)))
1211simpld 474 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
131, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12joinle 16837 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍𝑌 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  joincjn 16767  meetcmee 16768  Latclat 16868 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-poset 16769  df-lub 16797  df-join 16799  df-lat 16869 This theorem is referenced by:  latleeqj1  16886  latjlej1  16888  latjidm  16897  latledi  16912  latjass  16918  mod1ile  16928  lubun  16946  oldmm1  33522  olj01  33530  cvlexchb1  33635  cvlcvr1  33644  hlrelat  33706  hlrelat2  33707  exatleN  33708  hlrelat3  33716  cvrexchlem  33723  cvratlem  33725  cvrat  33726  atlelt  33742  ps-1  33781  hlatexch3N  33784  hlatexch4  33785  3atlem1  33787  3atlem2  33788  lplnexllnN  33868  2llnjaN  33870  4atlem3  33900  4atlem10  33910  4atlem11b  33912  4atlem11  33913  4atlem12b  33915  4atlem12  33916  2lplnja  33923  dalem1  33963  dalem3  33968  dalem8  33974  dalem16  33983  dalem17  33984  dalem21  33998  dalem25  34002  dalem39  34015  dalem54  34030  dalem60  34036  linepsubN  34056  pmapsub  34072  lneq2at  34082  2llnma3r  34092  cdlema1N  34095  cdlemblem  34097  paddasslem5  34128  paddasslem12  34135  paddasslem13  34136  llnexchb2  34173  dalawlem3  34177  dalawlem5  34179  dalawlem8  34182  dalawlem11  34185  dalawlem12  34186  lhp2lt  34305  lhpexle2lem  34313  lhpexle3lem  34315  4atexlemtlw  34371  4atexlemnclw  34374  lautj  34397  cdlemd3  34505  cdleme3g  34539  cdleme3h  34540  cdleme7d  34551  cdleme11c  34566  cdleme15d  34582  cdleme17b  34592  cdleme19a  34609  cdleme20j  34624  cdleme21c  34633  cdleme22b  34647  cdleme22d  34649  cdleme28a  34676  cdleme35a  34754  cdleme35fnpq  34755  cdleme35b  34756  cdleme35f  34760  cdleme42c  34778  cdleme42i  34789  cdlemf1  34867  cdlemg4c  34918  cdlemg6c  34926  cdlemg8b  34934  cdlemg10  34947  cdlemg11b  34948  cdlemg13a  34957  cdlemg17a  34967  cdlemg18b  34985  cdlemg27a  34998  cdlemg33b0  35007  cdlemg35  35019  cdlemg42  35035  cdlemg46  35041  trljco  35046  tendopltp  35086  cdlemk3  35139  cdlemk10  35149  cdlemk1u  35165  cdlemk39  35222  dialss  35353  dia2dimlem1  35371  dia2dimlem10  35380  dia2dimlem12  35382  cdlemm10N  35425  djajN  35444  diblss  35477  cdlemn2  35502  dihord2pre2  35533  dib2dim  35550  dih2dimb  35551  dih2dimbALTN  35552  dihmeetlem6  35616  dihjatcclem1  35725
 Copyright terms: Public domain W3C validator