Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trljco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trljco 35046
 Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j = (join‘𝐾)
trljco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trljco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trljco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trljco (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 5201 . . . . 5 (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
2 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 trljco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trljco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrn1o 34428 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
653adant2 1073 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
7 f1of 6050 . . . . . 6 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
8 fcoi2 5992 . . . . . 6 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
101, 9sylan9eqr 2666 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
1110fveq2d 6107 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
1211oveq2d 6565 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
13 simp1l 1078 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
14 hllat 33668 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
16 trljco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
172, 3, 4, 16trlcl 34469 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
18173adant3 1074 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
19 trljco.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
202, 19latjidm 16897 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
2115, 18, 20syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
22 hlol 33666 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2313, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ OL)
24 eqid 2610 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
252, 19, 24olj01 33530 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)) = (𝑅𝐹))
2623, 18, 25syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)) = (𝑅𝐹))
2721, 26eqtr4d 2647 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
2827adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
29 coeq2 5202 . . . . . 6 (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
302, 3, 4ltrn1o 34428 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31303adant3 1074 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
32 f1of 6050 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
33 fcoi1 5991 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3529, 34sylan9eqr 2666 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = 𝐹)
3635fveq2d 6107 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐹))
3736oveq2d 6565 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)))
382, 24, 3, 4, 16trlid0b 34483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
39383adant2 1073 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
4039biimpa 500 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
4140oveq2d 6565 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
4228, 37, 413eqtr4d 2654 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
43 eqid 2610 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4415adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → 𝐾 ∈ Lat)
45 simp1 1054 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
463, 4ltrnco 35025 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
472, 3, 4, 16trlcl 34469 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
4845, 46, 47syl2anc 691 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
492, 19latjcl 16874 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
5015, 18, 48, 49syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
5150adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
522, 3, 4, 16trlcl 34469 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
53523adant2 1073 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
542, 19latjcl 16874 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
5515, 18, 53, 54syl3anc 1318 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
5655adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
572, 43, 19latlej1 16883 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
5815, 18, 53, 57syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
5943, 19, 3, 4, 16trlco 35033 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
602, 43, 19latjle12 16885 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
6115, 18, 48, 55, 60syl13anc 1320 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (((𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
6258, 59, 61mpbi2and 958 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
6362adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
64 simpr 476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
6564oveq2d 6565 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
662, 43, 19latlej1 16883 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6715, 18, 48, 66syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6821, 67eqbrtrd 4605 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6968adantr 480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
7065, 69eqbrtrrd 4607 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
712, 43, 44, 51, 56, 63, 70latasymd 16880 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
7262adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
73 simpl1l 1105 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
74 simpl1 1057 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
75 simpl2 1058 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
76 simpr1 1060 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
77 eqid 2610 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
782, 77, 3, 4, 16trlnidat 34478 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
7974, 75, 76, 78syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
80 simpl3 1059 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
8175, 80jca 553 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐹𝑇𝐺𝑇))
82 simpr3 1062 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
8377, 3, 4, 16trlcoat 35029 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
8474, 81, 82, 83syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
85 simpr2 1061 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
862, 3, 4, 16trlcone 35034 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
8774, 81, 82, 85, 86syl112anc 1322 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
882, 77, 3, 4, 16trlnidat 34478 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
8974, 80, 85, 88syl3anc 1318 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
9043, 19, 77ps-1 33781 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
9173, 79, 84, 87, 79, 89, 90syl132anc 1336 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
9272, 91mpbid 221 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
9312, 42, 71, 92pm2.61da3ne 2871 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583   I cid 4948   ↾ cres 5040   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  0.cp0 16860  Latclat 16868  OLcol 33479  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288  LTrncltrn 34405  trLctrl 34463 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464 This theorem is referenced by:  trljco2  35047  cdlemkid1  35228
 Copyright terms: Public domain W3C validator