Theorem latjlej1 16888

Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej1i 27716 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latjlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 16883	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
5	4	3adant3r1 1266	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
6		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simpr1 1060	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr2 1061	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3	latjcl 16874	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10	9	3adant3r1 1266	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	1, 2	lattr 16879	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
12	6, 7, 8, 10, 11	syl13anc 1320	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
13	5, 12	mpan2d 706	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
14	1, 2, 3	latlej2 16884	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
15	14	3adant3r1 1266	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
16	13, 15	jctird 565	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))))
17		simpr3 1062	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18	7, 17, 10	3jca 1235	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵))
19	1, 2, 3	latjle12 16885	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
20	18, 19	syldan 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
21	16, 20	sylibd 228	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869

This theorem is referenced by:  latjlej2  16889  latjlej12  16890  ps-2  33782  dalem5  33971  cdlema1N  34095  dalawlem3  34177  dalawlem6  34180  dalawlem7  34181  dalawlem11  34185  dalawlem12  34186  cdleme20d  34618  trlcolem  35032  cdlemh1  35121