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Theorem lhp2lt 34305
Description: The join of two atoms under a co-atom is strictly less than it. (Contributed by NM, 8-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2lt.l = (le‘𝐾)
lhp2lt.s < = (lt‘𝐾)
lhp2lt.j = (join‘𝐾)
lhp2lt.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2lt.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2lt (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) < 𝑊)

Proof of Theorem lhp2lt
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2r 1081 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃 𝑊)
2 simp3r 1083 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄 𝑊)
3 simp1l 1078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 33668 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simp2l 1080 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃𝐴)
7 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 lhp2lt.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 33594 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp3l 1082 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄𝐴)
127, 8atbase 33594 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
14 simp1r 1079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑊𝐻)
15 lhp2lt.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
167, 15lhpbase 34302 . . . . 5 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1714, 16syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
18 lhp2lt.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
19 lhp2lt.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
207, 18, 19latjle12 16885 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
215, 10, 13, 17, 20syl13anc 1320 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑃 𝑊𝑄 𝑊) ↔ (𝑃 𝑄) 𝑊))
221, 2, 21mpbi2and 958 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) 𝑊)
2319, 18, 83dim2 33772 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
243, 6, 11, 23syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)))
25 simp11l 1165 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
26 hlop 33667 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ OP)
2825, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝐾 ∈ Lat)
29 simp12l 1167 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑃𝐴)
30 simp13l 1169 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑄𝐴)
317, 19, 8hlatjcl 33671 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
3225, 29, 30, 31syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
33 simp2l 1080 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑟𝐴)
347, 8atbase 33594 . . . . . . . . . 10 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
367, 19latjcl 16874 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
3728, 32, 35, 36syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
38 simp2r 1081 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑠𝐴)
397, 8atbase 33594 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → 𝑠 ∈ (Base‘𝐾))
417, 19latjcl 16874 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
4228, 37, 40, 41syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾))
43 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
44 eqid 2610 . . . . . . . 8 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
457, 43, 44ncvr1 33577 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) ∈ (Base‘𝐾)) → ¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
4627, 42, 45syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
47 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
48 simpl1l 1105 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
4948, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
50 simpl2l 1107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑃𝐴)
51 simpl3l 1109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑄𝐴)
5248, 50, 51, 31syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
53 simpr1l 1111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑟𝐴)
5453, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
5549, 52, 54, 36syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾))
5648, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ OP)
57 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
587, 47, 57op01dm 33488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP → ((Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾) ∧ (Base‘𝐾) ∈ dom (glb‘𝐾)))
5958simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP → (Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾))
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (Base‘𝐾) ∈ dom (lub‘𝐾))
617, 47, 18, 43, 48, 55, 60ple1 16867 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾))
62 hlpos 33670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
6348, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝐾 ∈ Poset)
647, 43op1cl 33490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
6556, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
66 simpr2l 1113 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ¬ 𝑟 (𝑃 𝑄))
677, 18, 19, 44, 8cvr1 33714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟𝐴) → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6848, 52, 53, 67syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ↔ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟)))
6966, 68mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟))
70 simpr3 1062 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄) = 𝑊)
71 simpl1r 1106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑊𝐻)
7243, 44, 15lhp1cvr 34303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
7348, 71, 72syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑊( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
7470, 73eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))
757, 18, 44cvrcmp 33588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)((𝑃 𝑄) 𝑟) ∧ (𝑃 𝑄)( ⋖ ‘𝐾)(1.‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾)))
7663, 55, 65, 52, 69, 74, 75syl132anc 1336 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (((𝑃 𝑄) 𝑟) (1.‘𝐾) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾)))
7761, 76mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟) = (1.‘𝐾))
78 simpr2r 1114 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))
79 simpr1r 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → 𝑠𝐴)
807, 18, 19, 44, 8cvr1 33714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑟) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑠𝐴) → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8148, 55, 79, 80syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8278, 81mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑟)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
8377, 82eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) ∧ (𝑃 𝑄) = 𝑊)) → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠))
84833exp2 1277 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑟𝐴𝑠𝐴) → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → ((𝑃 𝑄) = 𝑊 → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))))
85843imp 1249 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → ((𝑃 𝑄) = 𝑊 → (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠)))
8685necon3bd 2796 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (¬ (1.‘𝐾)( ⋖ ‘𝐾)(((𝑃 𝑄) 𝑟) 𝑠) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊))
8746, 86mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) ∧ (𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟))) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)
88873exp 1256 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑟𝐴𝑠𝐴) → ((¬ 𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
8988rexlimdvv 3019 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (∃𝑟𝐴𝑠𝐴𝑟 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑠 ((𝑃 𝑄) 𝑟)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊))
9024, 89mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)
913, 6, 11, 31syl3anc 1318 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
92 lhp2lt.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
9318, 92pltval 16783 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊𝐻) → ((𝑃 𝑄) < 𝑊 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑊 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
943, 91, 14, 93syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) < 𝑊 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑊 ∧ (𝑃 𝑄) ≠ 𝑊)))
9522, 90, 94mpbir2and 959 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴𝑄 𝑊)) → (𝑃 𝑄) < 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  ltcplt 16764  lubclub 16765  glbcglb 16766  joincjn 16767  1.cp1 16861  Latclat 16868  OPcops 33477  ccvr 33567  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LHypclh 34288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-lhyp 34292
This theorem is referenced by:  lhpexle3lem  34315
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