Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnjaN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnjaN 33870
 Description: The join of two different lattice lines in a lattice plane equals the plane (version of 2llnjN 33871 in terms of atoms). (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnja.l = (le‘𝐾)
2llnja.j = (join‘𝐾)
2llnja.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnja.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnja.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnjaN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) = 𝑊)

Proof of Theorem 2llnjaN
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 2llnja.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simpl1l 1105 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
4 hllat 33668 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
53, 4syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simpl21 1132 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑄𝐴)
7 simpl22 1133 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑅𝐴)
8 2llnja.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
9 2llnja.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
101, 8, 9hlatjcl 33671 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
113, 6, 7, 10syl3anc 1318 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
12 simpl31 1135 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝐴)
13 simpl32 1136 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝐴)
141, 8, 9hlatjcl 33671 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
153, 12, 13, 14syl3anc 1318 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
161, 8latjcl 16874 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
175, 11, 15, 16syl3anc 1318 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
18 simpl1r 1106 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊𝑃)
19 2llnja.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
201, 19lplnbase 33838 . . 3 (𝑊𝑃𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2118, 20syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
22 simpr1 1060 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑄 𝑅) 𝑊)
23 simpr2 1061 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑇) 𝑊)
241, 2, 8latjle12 16885 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊) ↔ ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊))
255, 11, 15, 21, 24syl13anc 1320 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊) ↔ ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊))
2622, 23, 25mpbi2and 958 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊)
271, 9atbase 33594 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
2813, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
291, 8latjcl 16874 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
305, 11, 28, 29syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
311, 9atbase 33594 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
3212, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
331, 2, 8latlej2 16884 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑇 (𝑆 𝑇))
345, 32, 28, 33syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇 (𝑆 𝑇))
351, 2, 8latjlej2 16889 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑇 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
365, 28, 15, 11, 35syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
3734, 36mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
381, 2, 5, 30, 17, 21, 37, 26lattrd 16881 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊)
39383adant3 1074 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊)
40 simp11l 1165 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
41 simp121 1186 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
42 simp122 1187 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
43 simp132 1190 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑇𝐴)
44 simp123 1188 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝑅)
45 simp23 1089 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))
46 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → 𝑆 (𝑄 𝑅))
47 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → 𝑇 (𝑄 𝑅))
481, 2, 8latjle12 16885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
495, 32, 28, 11, 48syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
50493adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
5246, 47, 51mpbi2and 958 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅))
53 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇))
542, 8, 9ps-1 33781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
553, 53, 6, 7, 54syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
56553adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
5852, 57mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅))
5958eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) = (𝑆 𝑇))
6059ex 449 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (𝑇 (𝑄 𝑅) → (𝑄 𝑅) = (𝑆 𝑇)))
6160necon3ad 2795 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇) → ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅)))
6245, 61mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅))
632, 8, 9, 19lplni2 33841 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃)
6440, 41, 42, 43, 44, 62, 63syl132anc 1336 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃)
65 simp11r 1166 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊𝑃)
662, 19lplncmp 33866 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃𝑊𝑃) → (((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊))
6740, 64, 65, 66syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊))
6839, 67mpbid 221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊)
69373adant3 1074 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
7068, 69eqbrtrrd 4607 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
71703expia 1259 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 (𝑄 𝑅) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
721, 8latjcl 16874 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
735, 11, 32, 72syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
741, 2, 8latlej1 16883 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑆 𝑇))
755, 32, 28, 74syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆 (𝑆 𝑇))
761, 2, 8latjlej2 16889 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
775, 32, 15, 11, 76syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
7875, 77mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
791, 2, 5, 73, 17, 21, 78, 26lattrd 16881 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊)
80793adant3 1074 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊)
81 simp11l 1165 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
82 simp121 1186 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
83 simp122 1187 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
84 simp131 1189 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑆𝐴)
85 simp123 1188 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝑅)
86 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
872, 8, 9, 19lplni2 33841 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
8881, 82, 83, 84, 85, 86, 87syl132anc 1336 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
89 simp11r 1166 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊𝑃)
902, 19lplncmp 33866 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃𝑊𝑃) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊))
9181, 88, 89, 90syl3anc 1318 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊))
9280, 91mpbid 221 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊)
93783adant3 1074 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
9492, 93eqbrtrrd 4607 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
95943expia 1259 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
9671, 95pm2.61d 169 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
971, 2, 5, 17, 21, 26, 96latasymd 16880 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) = 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  LLinesclln 33795  LPlanesclpl 33796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803 This theorem is referenced by:  2llnjN  33871
 Copyright terms: Public domain W3C validator