Theorem hashprg 13043

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		elsni 4142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
3	2	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
4	3	necon3ai 2807	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5		snfi 7923	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6		hashunsng 13042	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1)))
7	6	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
8	5, 7	mpanr1 715	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
9	1, 4, 8	syl2an 493	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
10		hashsng 13020	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (#‘{𝐴}) = 1)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘{𝐴}) = 1)
13	12	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((#‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
14	9, 13	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15		df-pr 4128	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
16	15	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17		df-2 10956	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2669	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19		1ne2 11117	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1 ≠ 2)
21	11, 20	eqnetrd 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (#‘{𝐴}) ≠ 2)
22		dfsn2 4138	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23		preq2 4213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
24	22, 23	syl5req 2657	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
25	24	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘{𝐴}))
26	25	neeq1d 2841	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (#‘{𝐴}) ≠ 2))
27	21, 26	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
28	27	necon2d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴 ≠ 𝐵))
29	28	imp 444	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	18, 29	impbida 873	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashprb  13046  prhash2ex  13048  hashfun  13084  hash2exprb  13110  nehash2  13113  hashtpg  13121  elss2prb  13123  wrdlen2i  13534  isnzr2hash  19085  dchrisum0re  25002  upgrex  25759  umgrbi  25767  coinflipprob  29868  subfacp1lem1  30415  poimirlem9  32588  fourierdlem54  39053  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  usgr1e  40471  cusgrexi  40662  cusgrfilem1  40671  umgr2v2e  40741  vdegp1bi-av  40753  eulerpathpr  41408