Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgrfilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfilem1 40671
 Description: Lemma 1 for cusgrfi 40674. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
Assertion
Ref Expression
cusgrfilem1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem1
StepHypRef Expression
1 cusgrfi.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2610 . . . 4 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 2cusgredg 40646 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
4 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑎, 𝑁} → (#‘𝑥) = (#‘{𝑎, 𝑁}))
54ad2antlr 759 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (#‘𝑥) = (#‘{𝑎, 𝑁}))
6 hashprg 13043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑉𝑁𝑉) → (𝑎𝑁 ↔ (#‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
76adantrr 749 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (𝑎𝑁 ↔ (#‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
87biimpcd 238 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑁 → ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (#‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
98adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) → ((𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)) → (#‘{𝑎, 𝑁}) = 2))
109imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (#‘{𝑎, 𝑁}) = 2)
115, 10eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉))) → (#‘𝑥) = 2)
1211an13s 841 . . . . . 6 (((𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉) ∧ (𝑎𝑉 ∧ (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}))) → (#‘𝑥) = 2)
1312rexlimdvaa 3014 . . . . 5 ((𝑁𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝑉) → (∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁}) → (#‘𝑥) = 2))
1413ss2rabdv 3646 . . . 4 (𝑁𝑉 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
15 cusgrfi.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
1615a1i 11 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})})
17 id 22 . . . . 5 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → (Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
1816, 17sseq12d 3597 . . . 4 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → (𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
1914, 18syl5ibr 235 . . 3 ((Edg‘𝐺) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → (𝑁𝑉𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺)))
203, 19syl 17 . 2 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑁𝑉𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺)))
2120imp 444 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑁𝑉) → 𝑃 ⊆ (Edg‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127  ‘cfv 5804  2c2 10947  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  ComplUSGraphccusgr 40553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-uvtxa 40556  df-cplgr 40557  df-cusgr 40558 This theorem is referenced by:  cusgrfi  40674
 Copyright terms: Public domain W3C validator