Theorem hashprg 12416

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	|- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B <-> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> B e. V )
2		elsni 3996	. . . . . . 7 |- ( B e. { A } -> B = A )
3	2	eqcomd 2410	. . . . . 6 |- ( B e. { A } -> A = B )
4	3	necon3ai 2631	. . . . 5 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
5		snfi 7554	. . . . . 6 |- { A } e. Fin
6		hashunsng 12415	. . . . . . 7 |- ( B e. V -> ( ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) ) )
7	6	imp 427	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
8	5, 7	mpanr1 681	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ -. B e. { A } ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
9	1, 4, 8	syl2an 475	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
10		hashsng 12393	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( # ` { A } ) = 1 )
11	10	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( # ` { A } ) = 1 )
12	11	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` { A } ) = 1 )
13	12	oveq1d 6249	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( ( # ` { A } ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
14	9, 13	eqtrd 2443	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( 1 + 1 ) )
15		df-pr 3974	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
16	15	fveq2i 5808	. . 3 |- ( # ` { A , B } ) = ( # ` ( { A } u. { B } ) )
17		df-2 10555	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2468	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` { A , B } ) = 2 )
19		1ne2 10709	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> 1 =/= 2 )
21	11, 20	eqnetrd 2696	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( # ` { A } ) =/= 2 )
22		dfsn2 3984	. . . . . . . 8 |- { A } = { A , A }
23		preq2 4051	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
24	22, 23	syl5req 2456	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
25	24	fveq2d 5809	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( # ` { A , B } ) = ( # ` { A } ) )
26	25	neeq1d 2680	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( # ` { A , B } ) =/= 2 <-> ( # ` { A } ) =/= 2 ) )
27	21, 26	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A = B -> ( # ` { A , B } ) =/= 2 ) )
28	27	necon2d 2629	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( # ` { A , B } ) = 2 -> A =/= B ) )
29	28	imp 427	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( # ` { A , B } ) = 2 ) -> A =/= B )
30	18, 29	impbida 833	1 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B <-> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   u. cun 3411   {csn 3971   {cpr 3973   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   1c1 9443   + caddc 9445   2c2 10546   #chash 12359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-hash 12360

This theorem is referenced by:  hashprb  12418  prhash2ex  12420  hashfun  12451  hash2prb  12473  hashtpg  12479  wrdlen2i  12847  prmreclem2  14536  isnzr2hash  18124  dchrisum0re  23971  nehash2  24172  umgraex  24621  usgra1  24671  usgranloopv  24676  usgraexmpl  24699  cusgraexi  24766  cusgrafilem1  24777  2trllemA  24850  2pthon  24902  2pthon3v  24904  nbhashuvtx1  25213  eupath  25279  konigsberg  25285  coinflipprob  28804  subfacp1lem1  29357  fourierdlem54  37293  fourierdlem102  37341  fourierdlem103  37342  fourierdlem104  37343  fourierdlem114  37353  usgpredgdv  38018