Theorem hashprg 12579

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	|- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B <-> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> B e. V )
2		elsni 3995	. . . . . . 7 |- ( B e. { A } -> B = A )
3	2	eqcomd 2459	. . . . . 6 |- ( B e. { A } -> A = B )
4	3	necon3ai 2651	. . . . 5 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
5		snfi 7655	. . . . . 6 |- { A } e. Fin
6		hashunsng 12578	. . . . . . 7 |- ( B e. V -> ( ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) ) )
7	6	imp 431	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
8	5, 7	mpanr1 690	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ -. B e. { A } ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
9	1, 4, 8	syl2an 480	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
10		hashsng 12556	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( # ` { A } ) = 1 )
11	10	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( # ` { A } ) = 1 )
12	11	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` { A } ) = 1 )
13	12	oveq1d 6310	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( ( # ` { A } ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
14	9, 13	eqtrd 2487	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( 1 + 1 ) )
15		df-pr 3973	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
16	15	fveq2i 5873	. . 3 |- ( # ` { A , B } ) = ( # ` ( { A } u. { B } ) )
17		df-2 10675	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2512	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` { A , B } ) = 2 )
19		1ne2 10829	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> 1 =/= 2 )
21	11, 20	eqnetrd 2693	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( # ` { A } ) =/= 2 )
22		dfsn2 3983	. . . . . . . 8 |- { A } = { A , A }
23		preq2 4055	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
24	22, 23	syl5req 2500	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
25	24	fveq2d 5874	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( # ` { A , B } ) = ( # ` { A } ) )
26	25	neeq1d 2685	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( # ` { A , B } ) =/= 2 <-> ( # ` { A } ) =/= 2 ) )
27	21, 26	syl5ibrcom 226	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A = B -> ( # ` { A , B } ) =/= 2 ) )
28	27	necon2d 2649	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( # ` { A , B } ) = 2 -> A =/= B ) )
29	28	imp 431	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( # ` { A , B } ) = 2 ) -> A =/= B )
30	18, 29	impbida 844	1 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B <-> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   u. cun 3404   {csn 3970   {cpr 3972   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Fincfn 7574   1c1 9545   + caddc 9547   2c2 10666   #chash 12522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-hash 12523

This theorem is referenced by:  hashprb  12581  prhash2ex  12583  hashfun  12616  hash2exprb  12639  hashtpg  12648  elss2prb  12650  wrdlen2i  13033  prmreclem2  14873  isnzr2hash  18500  dchrisum0re  24363  nehash2  24564  umgraex  25062  usgra1  25112  usgranloopv  25117  usgraexmplef  25140  cusgraexi  25208  cusgrafilem1  25219  2trllemA  25292  2pthon  25344  2pthon3v  25346  nbhashuvtx1  25655  eupath  25721  konigsberg  25727  coinflipprob  29324  subfacp1lem1  29914  poimirlem9  31961  fourierdlem54  38034  fourierdlem102  38082  fourierdlem103  38083  fourierdlem104  38084  fourierdlem114  38094  upgrex  39194  usgr1e  39330  cusgrexi  39517  cusgrfilem1  39526  umgr2v2e  39572  usgpredgdv  39825