Theorem hashprg 12417

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	|- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B <-> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> B e. V )
2		elsni 4047	. . . . . . 7 |- ( B e. { A } -> B = A )
3	2	eqcomd 2470	. . . . . 6 |- ( B e. { A } -> A = B )
4	3	necon3ai 2690	. . . . 5 |- ( A =/= B -> -. B e. { A } )
5		snfi 7588	. . . . . 6 |- { A } e. Fin
6		hashunsng 12416	. . . . . . 7 |- ( B e. V -> ( ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) ) )
7	6	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ ( { A } e. Fin /\ -. B e. { A } ) ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
8	5, 7	mpanr1 683	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ -. B e. { A } ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
9	1, 4, 8	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( ( # ` { A } ) + 1 ) )
10		hashsng 12395	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( # ` { A } ) = 1 )
11	10	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( # ` { A } ) = 1 )
12	11	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` { A } ) = 1 )
13	12	oveq1d 6292	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( ( # ` { A } ) + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
14	9, 13	eqtrd 2503	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` ( { A } u. { B } ) ) = ( 1 + 1 ) )
15		df-pr 4025	. . . 4 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
16	15	fveq2i 5862	. . 3 |- ( # ` { A , B } ) = ( # ` ( { A } u. { B } ) )
17		df-2 10585	. . 3 |- 2 = ( 1 + 1 )
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2528	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ A =/= B ) -> ( # ` { A , B } ) = 2 )
19		1ne2 10739	. . . . . . 7 |- 1 =/= 2
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> 1 =/= 2 )
21	11, 20	eqnetrd 2755	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( # ` { A } ) =/= 2 )
22		dfsn2 4035	. . . . . . . 8 |- { A } = { A , A }
23		preq2 4102	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , A } = { A , B } )
24	22, 23	syl5req 2516	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { A } )
25	24	fveq2d 5863	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( # ` { A , B } ) = ( # ` { A } ) )
26	25	neeq1d 2739	. . . . 5 |- ( A = B -> ( ( # ` { A , B } ) =/= 2 <-> ( # ` { A } ) =/= 2 ) )
27	21, 26	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A = B -> ( # ` { A , B } ) =/= 2 ) )
28	27	necon2d 2688	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( ( # ` { A , B } ) = 2 -> A =/= B ) )
29	28	imp 429	. 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( # ` { A , B } ) = 2 ) -> A =/= B )
30	18, 29	impbida 829	1 |- ( ( A e. V /\ B e. V ) -> ( A =/= B <-> ( # ` { A , B } ) = 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   u. cun 3469   {csn 4022   {cpr 4024   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   1c1 9484   + caddc 9486   2c2 10576   #chash 12362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-hash 12363

This theorem is referenced by:  hashprb  12419  hashfun  12450  hash2prb  12472  hashtpg  12478  wrdlen2i  12836  prmreclem2  14285  dchrisum0re  23421  nehash2  23622  umgraex  23988  usgra1  24037  usgranloopv  24042  usgraexmpl  24065  cusgraexi  24132  cusgrafilem1  24143  2trllemA  24216  2pthon  24268  2pthon3v  24270  nbhashuvtx1  24579  eupath  24645  konigsberg  24651  coinflipprob  28046  subfacp1lem1  28251  fourierdlem54  31418  fourierdlem102  31466  fourierdlem103  31467  fourierdlem104  31468  fourierdlem114  31478  usgpredgdv  31813  isnzr2hash  31904